Question

已知：梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=3，AB=4，BC=6（如图），点P为射线DC上的动点（不与D和C重合），AP交BD于点E，连BP．
（1）求tanC的值；
（2）当点P在线段DC上时，如果△ADE与△BPC相似，求DP的长；
（3）设DP=x，试用x的代数式表示

S△PAD

S△PBC

的值，并写出相应的x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）过D作DH⊥BC，则可得ABHD为矩形，从而结合题意得出DH、CH的长度，在RT△DHC中可得出tanC的值；
（2）先判断出，∠ADB=∠C，根据△ADE与△BPC相似得出

AD

DE

=

PC

BC

或

AD

DE

=

BC

CP

，设DP=x，则PC=5-x，然后可得出方程，解出即可得出答案；
（3）分两种情况进行讨论，①当点P在线段CD上时，②当点P在DC的延长线上时，分别过点P作MN⊥AD分别交直线BC和直线AD于M和N，表示出

S△PAD

S△PBC

的值即可．

解答：解：（1）过D作DH⊥BC，
则可得ABHD为矩形，DH=AB=4，BH=AD=3，
从而可得CH=BC-BH=3，
又∵DH⊥BC，
∴tanC=

DH

HC

=

4

3

；

（2）∵AD=3，AB=4，AD∥BC，AB⊥BC，
∴BD=5，而DH=4，HC=3，DH⊥BC，
∴DC=5，DC=BD，∠DBC=∠C，
又∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ADB=∠C，
∵△ADE与△BPC相似，∠ADB=∠C，
∴

AD

DE

=

PC

BC

或

AD

DE

=

BC

CP

，
延长AP交BC的延长线于点M，
设DP=x，则PC=5-x，
∵AD∥BC，
∴

AD

CM

=

DP

PC

，即

3

CM

=

x

5-x

，
∴CM=

15-3x

x

，
又∵AD∥BC，
∴

AD

BM

=

DE

BE

，即

3

6+ 15-3x x

=

DE

5-DE

，
∴DE=

5x

2x+5

，
∴

3

5x 2x+5

=

5-x

6

或

3

5x 2x+5

=

6

5-x

，
即5x²+11x+90=0或2x²+5x-25=0，
而5x²+11x+90=0无解；
故可得2x²+5x-25=0，
解得：x₁=

5

2

，x₂=-5（舍去），
即可得DP=

5

2

；

（3）分两种情况：
①当点P在线段CD上时，过P作MN⊥AD分别交直线BC和直线AD于M和N，
则

S△PAD

S△PBC

=

AD•PN

BC•PM

=

3

6

•

DP

PC

=

1

2

×

x

5-x

=

x

10-2x

（0＜x＜5），

②当点P在DC的延长线上时，过P作MN⊥AD分别交直线BC和直线AD于M和N，
则

S△PAD

S△PBC

=

AD•PN

BC•PM

=

3

6

•

DP

PC

=

1

2

×

x

x-5

=

x

2x-10

（x＞5）．

点评：此题属于相似性的综合题，涉及了矩形的性质、直角梯形、勾股定理，三角形的面积，难点在第二问，需要分类讨论，点P在CD上及点P在CD的延长线上，要求我们熟练掌握相似三角形的判定与性质，难度较大．