Question

在Rt△ABC中，∠＝90°，三角形的角平分线CE和高AD相交于点F，过F作FG∥BC交AB于点G，求证：(1)AE＝BG．(2)若∠=30°,,求四边形的面积．

 

Answer 1

略

解析:证明：∵∠BAC=900

           AD⊥BC

         ∴∠1=∠B

         ∵CE是角平分线

         ∴∠2＝∠3

         ∵∠5＝∠1+∠2

           ∠4＝∠3+∠B

         ∴∠4＝∠5

         ∴AE＝AF……………1分

         过F作FM⊥AC并延长MF交BC于N

         ∴MN//AB

         ∵FG//BD

         ∴四边形GBDF为平行四边形

         ∴GB=FN……………2分

         ∵AD⊥BC,CE为角平分线

         ∴FD=FM

          在Rt△AMF和RtNDF中

         

         ∴△AMF≌△NDF

         ∴AF＝FN

         ∴AE＝BG……………5分

    (2)∵∠B＝300

           AB//NF

         ∴∠8＝300

        在Rt△FDN中，FN＝2FD＝10

         ∴AF＝AE＝BG＝FN＝10

         ∴∠BAD＝600

         ∴△AEF为等边△

         ∴EF＝AE＝10

         ∵GF//BC

         ∴∠EGB＝∠B＝300

           ∠4＝∠9+∠10＝600

         ∴∠9＝∠10＝300

            EG＝EF＝10

         在Rt△ABC中，tan300＝

         ∴AC＝10     ∠2＝300

        在Rt△CDF中，tan∠＝

         ∴CD＝

S四EBDF＝S△ABC－S△AEC－S△CDF＝

      ……………10分