Question

【题目】在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=OB=4厘米，点P从B出发，以1厘米/秒的速度沿边BO运动，设点P运动时间为x（x＞0）秒．△APC是以AP为斜边的等腰直角三角形，且C，O两点在直线AB的同侧，连接OC．

（1）当x=1时，求的值；

（2）当x=2时，求tan∠CAO的值；

（3）设△POC的面积为y，求y与x的函数解析式，并写出定义域．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）（0<x<4）

【解析】试题分析:(1)根据x=1求出BP,OP根据勾股定理求出AP,根据余弦的定义求出AC,就算即可,(2) 作,交AB于H,垂足为H,因为△AOB, △ACP都是等腰三角形,

所以∠BAO=∠PAC=∠B=∠APC=45°,所以∠BAP=∠OAC, 当x=2时,BP=2,

在Rt△BPH中,∠B=45°,BP=2所以 ,因为Rt△ABO中,AO=BO=4,

所以,所以,所以tan∠CAO=tan∠BAP=,(3)根据题目可分三种情况, ①,②t=4③t>4,根据等腰直角三角形的性质和正弦的定义以及三角形的面积公式计算即可.

解：（1）当x=1时,OP=3,OA=4,

在Rt△AOP中,AP=5,

∵△ACP为等腰三角形,

∴AC=APcos45°=,

∴,

（2）作,交AB于H,垂足为H,

∵△AOB,△ACP都是等腰三角形,

∴∠BAO=∠PAC=∠B=∠APC=45°,

∴∠BAP=∠OAC,

当x=2时,BP=2,

在Rt△BPH中,∠B=45°,BP=2,

∴ ,

∵Rt△ABO中,AO=BO=4,

∴,

∴ ,

∴tan∠CAO=tan∠BAP= ,

（3）∵∠BAO=∠PAC=∠B=∠APC =45°,

∴△BAO∽△PAC,

∴∴,

∵∠BAP=∠OAC,

∴△APB∽△ACO,

∴∠B=∠AOC=45°,

,

∴,

作CM⊥BO,垂足为M,

则CM=OCsin45°= ,

∴（0<x<4）.