Question

已知：如图，在矩形ABCD中，E为CB延长线上一点，CE=AC，F是AE的中点．
（1）求证：BF⊥DF；
（2）若AB=8，AD=6，求DF的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接BD交AC于O，连接FO，根据矩形的性质得出∠ABC=90°，AC=BD=2AO=2CO，AO=CO，推出OF是三角形AEC的中位线，得出2FO=EC=AC=BD，根据直角三角形的判定推出直角即可；
（2）求出AC和BD，得出CE长，求出BE，根据勾股定理求出AE，求出BF，在△BFD中，由勾股定理求出DF即可．
解答：（1）证明：
连接BD交AC于O，连接FO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AC=BD=2AO=2CO，AO=CO，
∵F为AE中点，
∴FO=CE，
∵AC=CE，
∴FO=AC=BD，
即FO=OB=OD，
∴∠DFB=90°，
即BF⊥DF；

（2）解：∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，由勾股定理得：BD=AC=10=CE，
∴BE=10-6=4，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE==4，
∵F为AE中点，
∴BF=AE=2，
在Rt△DFB中，DF===4．
点评：本题考查了矩形性质，直角三角形斜边上中线性质，勾股定理等知识点的运用，灵活运用直角三角形斜边上中线的性质是解此题的关键，即求出FO=OB=OD，题目比较好，但有一定的难度．