Question

【题目】如图，过点A（5，）的抛物线y＝ax2+bx的对称轴是x＝2，点B是抛物线与x轴的一个交点，点C在y轴上，点D是抛物线的顶点．

（1）求a、b的值；

（2）当△BCD是直角三角形时，求△OBC的面积；

（3）设点P在直线OA下方且在抛物线y＝ax2+bx上，点M、N在抛物线的对称轴上（点M在点N的上方），且MN＝2，过点P作y轴的平行线交直线OA于点Q，当PQ最大时，请直接写出四边形BQMN的周长最小时点Q、M、N的坐标．

Answer 1

【答案】（1）（2）当△BDC为直角三角形时，△OBC的面积是或；（3）点Q、M、N的坐标分别为，，．

【解析】

（1）把点A的坐标代入函数解析式，利用对称轴方程，联立方程组，解方程组求得a、b的值;

（2）设点C的坐标是（0，m）．由于没有指明直角△BCD中的直角，所以需要分类讨论：当∠CBD=90°、∠CDB=90°、∠BCD=90°时，利用勾股定理列出关于m的方程，通过解方程求得m的值；然后利用三角形的面积公式解答；

（3）利用待定系数法确定直线OA解析式为．由抛物线上点的坐标特征和两点间的距离公式求得：PQ＝x(x23x)＝x2+x＝(x)2+，所以利用二次函数最值的求得推知：当PQ最大时，线段BQ为定长．又因为MN=2，所以要使四边形BQMN的周长最小，只需QM+BN最小．利用轴对称-最短路径问题得到点Q．最后利用方程思想解答．

解：（1）∵过点A(5， )的抛物线y＝ax2+bx的对称轴是x＝2，

∴ ，

解之，得；

（2）设点C的坐标是（0，m）．由（1）可得抛物线，

∴抛物线的顶点D的坐标是（2，﹣3），点B的坐标是（4，0）．

当∠CBD＝90°时，有BC2+BD2＝CD2．

∴ ，

解之，得，

∴；

当∠CDB＝90°时，有CD2+BD2＝BC2．

∴，

解之，得，

∴；

当∠BCD＝90°时，有CD2+BC2＝BD2．

∴，此方程无解．

综上所述，当△BDC为直角三角形时，△OBC的面积是或；

（3）设直线y＝kx过点A(5， )，可得直线．

由（1）可得抛物线，

∴PQ=x(x23x)＝x2+x＝(x)2+，

∴当x=时，PQ最大，此时Q点坐标是 ．

∴PQ最大时，线段BQ为定长．

∵MN＝2，

∴要使四边形BQMN的周长最小，只需QM+BN最小．

将点Q向下平移2个单位长度，得点，作点关于抛物线的对称轴的对称点，直线BQ2与对称轴的交点就是符合条件的点N，此时四边形BQMN的周长最小．

设直线y＝cx+d过点和点B（4，0），

则,

解之，得,

∴直线过点Q2和点B．

解方程组 得,

∴点N的坐标为，∴点M的坐标为，

所以点Q、M、N的坐标分别为 ， ，．