Question

【题目】如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OC=3.

(1)求抛物线的函数关系式；

(2)若点D(2，2)是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△BDP的周长最短？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)求出△ABC外接圆心M的坐标.

Answer 1

【答案】(1)y=x2+x+3；(2)存在，P坐标为(，)；(3)圆心坐标：M(，).

【解析】

（1）根据OA、OC的长即可求出A、C两点的坐标，代入解析式即可；

（2）连接BD、AD，AD交对称轴于点P，连接BP，要使△BDP的周长最短，故只需使BP+DP最小即可，此时BP+DP=AP+DP=AD，根据两点之间线段最短，故P为所求的点，利用待定系数法和对称轴公式分别求出直线AD的解析式及抛物线的对称轴，即可求出P点坐标；

（3）根据三角形的外接圆圆心为三边中垂线的交点，故M在抛物线对称轴上，可设M的坐标为(，a)，根据平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式和MA=MB，列方程即可.

(1)∵OA=2，OC=3，

∴A(2，0)，C(0，3)，代入抛物线解析式

得：c=3，2 2b+3=0，

解得：b=，c=3，

则抛物线解析式为y=x2+x+3

(2)存在，连接BD、AD，交对称轴于点P，连接BP，要使△BDP的周长最短，故只需使BP+DP最小即可，此时BP+DP=AP+DP=AD，根据两点之间线段最短，故P为所求的点，

设直线AD解析式为y=mx+n(m≠0)， 把A(2,0),D(2,2)代入得：

解得：m=，n=1，

∴直线AD解析式为y=x+1，

∵对称轴为直线，

当x=时，y=，则P坐标为(，).

(3)由题意可知：M在直线x=上， 且MA=MC，

设M(，a)

∴，

∴

解得：a=

圆心坐标M：(，)