题目内容

如图，在平面直角坐标系中，A是反比例函数 $数学公式$ （x＞0）图象上一点，作AB⊥x轴于B点，AC⊥y轴于C点，得正方形OBAC的面积为16．

（1）求A点的坐标及反比例函数的解析式；

（2）点P（m， $数学公式$ ）是第一象限内双曲线上一点，请问：是否存在一条过P点的直线l与y轴正半轴交于D点，使得BD⊥PC？若存在，请求出直线l的解析式；若不存在，请说明理由；

（3）连BC，将直线BC沿x轴平移，交y轴正半轴于D，交x轴正半轴于E点（如图所示），DQ⊥y轴交双曲线于Q点，QF⊥x轴于F点，交DE于H，M是EH的中点，连接QM、OM．下列结论：①QM+OM的值不变；② $数学公式$ 的值不变．可以证明，其中有且只有一个是正确的，请你作出正确的选择并求值．

解：（1）∵正方形OBAC的面积为16，
∴A（4，4）；
将A点代入反比例函数 $\text{[math]}$ （x＞0）中，得反比例函数的解析式： $\text{[math]}$ ；

（2）将y= $\text{[math]}$ 代入 $\text{[math]}$ 得： $\text{[math]}$ ；
设存在点D，延长PC交x轴于E点；
∵∠COE=∠DOB=90°，∠ECO=∠DCP，
∴∠CEO=∠ODB；

而OC=OB，
∴△COE≌△BOD，∴OE=OD；
而C（0，4）， $\text{[math]}$ ，
∴直线CP的解析式为 $\text{[math]}$ ；
当y=0时，x=-9，
∴E（-9，0），
故D（0，9），
∴直线l的解析式为：y=- $\text{[math]}$ x+9

（3）选②，值为1．
连FM，

∵DE∥BC，
∴OE=OD=QF，而M是Rt△FHE的斜边中点，
∴EM=HM=FM；
∵∠OEH=∠QFM=45°，
∴△QMF≌△OME；
∴QM=OM；
∴ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据正方形的面积公式可以确定正方形的边长，也可以知道A的坐标，代入 $\text{[math]}$ 就可以求出解析式了；
（2）首先根据（1）的解析式确定P的坐标，设存在点D，延长PC交x轴于E点，然后利用正方形的性质和已知条件可以证明△COE≌△BOD，这样可以得到OE=OD，而直线PC的解析式可以求出，也可以求出OE的长，就求出OD的长，也求出了D的坐标，这样再用待定系数法就可以求出直线BD的解析式了．
（3）因为DE∥BC，所以OE=OD=QF，而M是Rt△FHE的斜边中点，可以得到EM=HM=FM，还有∠OEH=∠QFM=45°，这样可以证明△QMF≌△OME，最后得到QM=OM，所以②是正确的．
点评：此题比较难，综合性很强，把全等三角形的性质与判定，正方形的性质，待定系数法确定函数的解析式，还有平移的知识都结合起来，综合利用它们解题．