Question

将边长为4的等边△ABC放置在边长为1的小正三角形组成的虚线网格中.
（1）在图①中画出将等边△ABC向右平移3格后所得的△A₁B₁C₁，则四边形ABB₁A₁是平行四边形吗？试说说你的理由；
（2）将等边△ABC向右平移n格后得到△A₂B₂C₂，若四边形ABB₂A₂是菱形，则n的值是多少？试在图②中画出平移后的图形，并计算此时菱形ABB₂A₂对角线BA₂的长；
（3）如图③，请你继续探索，将等边△ABC向右平移若干格后得到△A₃B₃C₃，使AC与A₃B₃能互相平分；画出平移后的图形，再连结AB₃、AA₃、A₃C，此时四边形AB₃CA₃是怎样的特殊四边形？说说你的理由；

Answer 1

（1）画图“略” 是平行四边形
理由如下：∵是△ABC经平移后得
                 ∴∥AB 且=AB
                 ∴ABB₁ A₁是平行四边形
（2）图“略” 向右平移4格后ABB₂ A₂是菱形；
         连结BA₂交AC于O点
           ∵ABB₂ A₂是菱形，∴AB₂⊥BA₂    且
         
                   ∴对角线BA₂=2BO=4
（3）图“略” 向右平移2格时，AC与A₃ B₃能互相平分，此时四边形AB ₃CA₃是矩形
理由如下： ∵BB₃=B₃C=BC=2
             ∴AB₃是等边△ABC的中线
             ∴AB₃⊥B₃C ∴∠AB₃C=90^。
         又∵AA₃∥B₃ C且AA₃=B₃ C=2
             ∴AB₃CA₃是平行四边形 ∴AB₃CA₃是矩形