Question

11．设三角形三内角的度数分别为x°，y，°z°，如果其中一个角的度数是另一个角的度数的2倍，那我们称数对（y，z）（y≤z）是x的和谐数对，当x=150时，对应的和谐数对有一个，它为（10，20）；当x=66时，对应的和谐数对有二个，它们为（33，81），（38，76）．当对应的和谐数对（y，z）有三个时，请写出此时x的范围0°＜x＜60°．

Answer 1

分析 根据题意，可以求得对应的和谐数对（y，z）有三个时，x的取值范围．

解答 解：由题意可得，
当0°＜x＜60°时，它的和谐数对有（2x，180°-3x），（$\frac{x}{2}，180°-\frac{3x}{2}$），（$\frac{180°-x}{3}$，$\frac{2（180°-x）}{3}$），
当60°≤x＜120°时，它的和谐数对有（$\frac{x}{2}，180°-\frac{3x}{2}$），（$\frac{180°-x}{3}$，$\frac{2（180°-x）}{3}$），
当120°≤x＜180°时，它的和谐数对有（$\frac{180°-x}{3}$，$\frac{2（180°-x）}{3}$），
∴对应的和谐数对（y，z）有三个时，此时x的范围是0°＜x＜60°，
故答案为：0°＜x＜60°．

点评 本题考查三角形内角和定理，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答问题．