Question

【题目】已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点P是底边BC上一点且满足PA=PB，⊙O是△PAB的外接圆，过点P作PD∥AB交AC于点D．

（1）求证：PD是⊙O的切线；

（2）若BC=8，tan∠ABC=，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）⊙O的半径是．

【解析】（1）先根据圆的性质得：，由垂径定理可得：OP⊥AB，根据平行线可得：OP⊥PD，所以PD是⊙O的切线；

（2）如图2，作辅助线，构建直角三角形，根据三角函数设CG=x，BG=2x，利用勾股定理计算x=，设AC=a，则AB=a，AG=﹣a，在Rt△ACG中，由勾股定理列方程可得a的值，同理设⊙O的半径为r，同理列方程可得r的值．

（1）如图1，连接OP，

∵PA=PB，

∴，

∴OP⊥AB，

∵PD∥AB，

∴OP⊥PD，

∴PD是⊙O的切线；

（2）如图2，过C作CG⊥BA，交BA的延长线于G，

Rt△BCG中，tan∠ABC=，

设CG=x，BG=2x，

∴BC=x，

∵BC=8，即x=8，

x=，

AC=a，则AB=a，AG=﹣a，

在Rt△ACG中，由勾股定理得：AG2+CG2=AC2，

∴ (﹣a)2+()2=a2，

a=2，

∴AB=2，BE=，

Rt△BEP中，同理可得：PE=，

设⊙O的半径为r，则OB=r，OE=r﹣，

由勾股定理得：r2=(r-)2+()2，

r=，

答：⊙O的半径是．