Question

如图，P为半圆直径AB上一动点，C为半圆中点，D为弧AC的三等分点，若AB=2，则PC+PD的最短距离为

 

．

Answer 1

分析：要求PC+PD的最小值，应先确定点P的位置．作点C关于AB的对称点E，连接DE交AB于点P，则P即是所求作的点，且PC+PD=DE．根据作法知：CE是直径，弧CD的度数是30°，即∠CED=30°，根据三角函数即可求出PC+PD的最小值．

解答：解：设点C关于AB的对称点为E，连接DE交AB于P，则此时PC+PD的值最小，且PC+PD=PE+PD=DE．
连接OC、OE；
∵C为半圆中点，D为弧AC的三等分点，
∴弧CD的度数为30°，∠CDE=90°；
∵AB=2，
∴CE=2；
∴DE=EC•cos∠CED=

3

，
即PC+PD的最小值为

3

．
故答案为：

3

．

点评：此题主要考查了轴对称-最短路线问题，难点是确定点P的位置：找点C或点D关于AB的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和AB的交点P就是所求作的位置．再根据弧的度数和圆心角的度数相等发现一个含30°角的直角三角形．