Question

（1）如图（1），OA、OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C是OB延长线上任意一点，过点C作CD切⊙O于点D，连接AD交OC于点E． 求证：CD=CE；
（2）若将图（2）中的半径OB所在直线向上平行移动交OA于F，交⊙O于B′，其他条件不变，那么上述结论CD=CE还成立吗？为什么？
（3）若将图（3）中的半径OB所在直线向上平行移动到⊙O外的CF，点E是DA的延长线与CF的交点，其他条件不变，那么上述结论CD=CE还成立吗？为什么？

Answer 1

（1）证明：连接OD，OD⊥CD，∠CDE+∠ODA=90°；
在Rt△AOE中，∠AEO+∠A=90°；在⊙O中，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ODA，∠CDE=∠AEO，
又∵∠AEO=∠CED，
∴∠CED=∠CDE，CD=CE；
（2）解：CE=CD仍然成立，∵原来的半径OB所在直线向上平行移动，
∴CF⊥AO于F；在Rt△AFE中，∠A+∠AEF=90°，
连接OD，则∠ODA+∠CDE=90°，且OA=OD，
∴∠A=∠ODA，∠AEF=∠CDE；
又∵∠AEF=∠CED，
∴∠CED=∠CDE，CD=CE；
（3）解：CE=CD仍成立，∵原来的半径OB所在直线向上平行移动，
∴AO⊥CF，延长OA交CF于G，
在Rt△AEG中，∠AEG+∠GAE=90°；
连接OD，有，∠CDA+∠ODA=90°，且OA=OD，
∴∠ADO=∠OAD=∠GAE，
∴∠CDE=∠CED，
∴CD=CE．