Question

如图，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，点E在AC上，BE交CD于点G，EF⊥BE交AB于点F，若AC＝mBC，CE＝nEA(m，n为实数)．

试探究线段EF与EG的数量关系．

(1)如图，当m＝1，n＝1时，EF与EG的数量关系是_________

(2)如图，当m＝1，n为任意实数时，EF与EG的数量关系是_________

(4)如图，当m，n均为任意实数时，EF与EG的数量关系是_________

(写出关系式，不必证明)

Answer 1

答案：
解析：

(1)如图：连接DE， 　　∵AC＝mBC，CD⊥AB，当m＝1，n＝1时 　　∴AD＝BD，∠ACD＝45°， 　　∴CD＝AD＝AB， 　　∵AE＝nEC， 　　∴DE＝AE＝EC＝AC， 　　∴∠EDC＝45°，DE⊥AC， 　　∵∠A＝45°， 　　∴∠A＝∠EDG， 　　∵EF⊥BE， 　　∵∠AEF＋∠FED＝∠EFD＋∠DEG＝90°， 　　∴∠AEF＝∠DEG， 　　∴△AEF≌△DEG(ASA)， 　　∴EF＝EG． 　　(2)解：EF＝EG证明：作EM⊥AB于点M，EN⊥CD于点N， 　　∵EM∥CD， 　　∴△AEM∽△ACD， 　　∴ 　　即EM＝CD， 　　同理可得，EN＝AD， 　　∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， 　　∴tanA＝， 　　∴， 　　又∵EM⊥AB，EN⊥CD， 　　∴∠EMF＝∠ENG＝90°， 　　∵EF⊥BE， 　　∴∠FEM＝∠GEN， 　　∴△EFM∽△EGN， 　　∴， 　　即EF＝EG； 　　(3)EF＝EG．