Question

如图，在直角△ABC中，∠C=90°、AB=6、AC=3，⊙O与边AB相切于点D、与边AC交于点E，连接DE，若DE∥BC，AE=2EC，则⊙O的半径是

2

3

．

Answer 1

分析：连接OD，OE，由AC的长，及AE=2EC，求出AE及EC的长，在直角三角形ABC中，由AC及AB的长，利用勾股定理求出BC的长，再由ED平行于BC，得到两对同位角相等，根据两对对应角相等的三角形相似可得出三角形AED与三角形ACB相似，由相似得比例，将AE，AC及BC的长代入求出DE的长，在直角三角形AED中，根据锐角三角函数定义求出tan∠ADE的值，利用特殊角的三角函数值得出∠ADE的度数，根据AB为圆O的切线，由切线的性质得到OD与AB垂直，进而得到∠ADE与∠EDO互余，由∠ADE的度数求出∠EDO的度数为60°，再由半径OE=OD，可得出三角形OED为等边三角形，根据等边三角形的性质得到圆的半径与ED的长相等，由ED的长可得出圆O的半径．

解答：解：连接OD，OE，如图所示：

∵AC=3，AE=2EC，
∴AE=2，EC=1，
在Rt△ABC中，AB=6，AC=3，
根据勾股定理得：BC=

AB2-AC2

=3

3

，
∵ED∥BC，∠C=90°，
∴∠AED=∠C，∠ADE=∠B，
∴△AED∽△ACB，
∴

ED

BC

=

AE

AC

=

AE

AE+EC

=

2

3

，∠AED=90°，
又∵BC=3

3

，
∴ED=2

3

，
在Rt△AED中，tan∠ADE=

AE

ED

=

2

2 3

=

3

3

，
∴∠ADE=30°，又∠ADO=90°，
∴∠EDO=60°，又OE=OD，
∴△OED为等边三角形，
则圆的半径OE=ED=2

3

．
故答案为：2

3

点评：此题考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，切线的性质，勾股定理，锐角三角函数定义，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．