Question

【题目】已知：抛物线：（、、为常数，且）与轴分别交于，两点，与轴交于点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）将平移后得到抛物线，点、在上（点在点的上方），若以点、、、为顶点的四边形是正方形，求抛物线的解析式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或或

【解析】

（1）设交点式，将代入，即可求出表达式；

（2）平移抛物线，则a的值不变，设平移后的抛物线解析式为：，作出图形，分三种情况讨论，以BC为边作正方形有两种，以BC为对角线作正方形有一种，根据正方形的特点找到D，E坐标，代入解析式求出a即可．

（1）∵抛物线与轴分别交于，两点，与轴交于点，

∴设交点式，

将代入得，解得

∴抛物线的表达式为：

（2）设平移后的抛物线解析式为：，

分三种情况讨论：

①如图所示，以BC为边作正方形BCED，过E作EH⊥y轴于点H，过D作DG⊥x轴于点G

∵OB=OC=2

∴△OBC为等腰直角三角形

∴∠OBC=∠OCB=45°

又∵∠BCE=90°，∠EHC=90°

∴∠HCE=∠HEC=45°

在△HCE和△OBC中，

∵∠HCE=∠OBC=45°，CE=BC，∠HEC=∠OCB=45°，

∴△HCE≌△OBC（ASA）

∴CH=OB=2，HE=OC=2

∴OH=4

则E点坐标为(2，4)

同理可得D点坐标为(4，2)

将D，E坐标代入得：

，解得

此时解析式为：；

②如图所示，以BC为边作正方形BCED

此时E与B关于原点对称，D与C关于原点对称

∴E点坐标为(-2，0)，D点坐标为(0，-2)

将D、E坐标代入得：

，解得

此时解析式为：；

③以BC为对角线作正方形BDCE

此时D点与原点重合，E点坐标为(2，2)

将D、E坐标代入得：

，解得

此时解析式为：；

综上所述，解析式为：或或．