Question

已知：关于的一元二次方程．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设上述方程的两个实数根分别为x₁、x₂，求：当取哪些整数时，x₁、x₂均为整数；
（3）设上述方程的两个实数根分别为x₁、x₂，若，求k的值．

Answer 1

(1)k≠0;(2)k=±1或者k=±2；(3) .

试题分析：(1)一元二次方程存在的条件是二次项系数不为零，根据题意，kx²+2x+2-k=0是关于x的一元二次方程，所以k≠0;(2)根据求根公式，可以将方程的解求出来，，，，要使得方程的根为整数，只要要求是整数即可，进而只要要求为整数，k是2的因数，所以k=±1或者k=±2；(3)方法一：由（2）可以得到 ，，所以，分类讨论，①当时，此方程无解；②当时，解得；方法二：可以根据根与系数关系，进行求解，具体详见解析.
试题解析：(1) ∵方程是关于x的一元二次方程,
∴实数k的取值范围是k≠0.
(2)△= b²-4ac=4-4k（2-k）=k²-2k+1=（k-1）² ,
由求根公式，得,
∴，,
∵要求两个实数根x₁、x₂是整数，
∴为整数，即是整数，
∴k是2的因数， k=±1或者k=±2.
(3)方法一：由（2）可以得到 ，，
∴，分类讨论:
①当时，此方程无解；
②当时，解得；
方法二：根据题意，,两边平方，有,
整理得，
由根与系数的关系，，
∴，
整理，得8k-4=0，k=.