Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA=10厘米，OC=6厘米，现有两动点P，Q分别从O，A同时出发，点P在线段OA上沿OA方向作匀速运动，点Q在线段AB上沿AB方向作匀速运动，已知点P的运动速度为1厘米/秒．点Q的运动速度为

1

2

厘米/秒，运动时间为t秒．
①求△CPQ的面积S关于t的函数关系式；
②当△CPQ的面积最小时，求点Q的坐标；
③当△COP和△PAQ相似时，求点Q的坐标．

Answer 1

分析：①因为无法直接求△CPQ的面积，只好用梯形的面积减去两个三角形的面积，得到关于t的二次函数，求最小值就可以了，从而得到t的值，就可求出Q的坐标．利用三角形的相似，可以得到比例线段，求出t的值，
②由①把s和t之间的二次函数配方即可得到△CPQ的面积最小，进一步就可以求出点Q的坐标；
③利用三角形的相似，得到比例线段，解关于a、t的二元一次方程即可，那么Q点的坐标就可求．

解答：解：①由题意可知：S_△CPQ=S_梯形QCOA-S_△COP-S_△APQ
=

1

2

（AQ+OC）×OA-

1

2

AP•AQ-

1

2

OC•OP
=

1

2

（0.5t+6）×10-

1

2

×0.5t×（10-t）-

1

2

×6×t
=

1

4

t²-3t+30；

②设两点运动的时间是t时，△CPQ面积最小．
由①可知S_△CPQ=

1

4

t²-3t+30=

1

4

（t-6）²+21，
∵a=

1

4

＞0，
∴当t=6时，S_△CPQ有最小值，
那么AQ=0.5t=0.5×6=3，
∴Q点的坐标是（10，3）；

③△COP和△PAQ相似，有△COP∽△PAQ和△COP∽△QAP两种情况：
（i）当△COP∽△PAQ时：
则

AQ

AP

=

OP

OC

，
∴

0.5t

10-t

=

t

6

，
即t²-7t=0，
解得，t₁=0（不合题意，舍去），t₂=7．
∴t=7，
∴AQ=0.5t=0.5×7=3.5．
∴Q点的坐标是（10，3.5）．
（ii）当△COP∽△QAP时：
则

OP

OC

=

AP

AQ

，
∴

t

6

=

10-t

0.5t

，
即t²+12t-120=0
解得：t₁=-6+2

39

，t₂=-6-2

39

（不合题意，舍去）
∴AQ=0.5t=-3+

39

，
∴Q点的坐标是（10，-3+

39

），
综上可知：Q点的坐标是（10，3.5）或（10，-3+

39

）．

点评：本题考查了梯形、三角形的面积公式，相似三角形的性质，关键要会用含t的代数式表示线段的长，还用到了二次函数求最小值的知识（当a＞0时，二次函数有最小值），矩形的性质以及路程等于速度乘以时间等知识．