Question

如图，已知∠MON=90°，A是∠MON内部的一点，过点A作AB⊥ON，垂足为点B，AB=3厘米，OB=4厘米，动点E，F同时从O点出发，点E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向运动，点F以2厘米/秒的速度沿OM方向运动，EF与OA交于点C，连接AE，当点E到达点B时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒（t＞0）．

（1）当t=1秒时，△EOF与△ABO是否相似？请说明理由；

（2）在运动过程中，不论t取何值时，总有EF⊥OA．为什么？

（3）连接AF，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得S_△AEF=S_{四边形ABOF}？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵t=1，

∴OE=1.5厘米，OF=2厘米，

∵AB=3厘米，OB=4厘米，

∴==，==

∵∠MON=∠ABE=90°，

∴△EOF∽△ABO．

（2）在运动过程中，OE=1.5t，OF=2t．

∵AB=3，OB=4．

∴．

又∵∠EOF=∠ABO=90°，

∴Rt△EOF∽Rt△ABO．

∴∠AOB=∠EOF．

∵∠AOB+∠FOC=90°，

∴∠EOF+∠FOC=90°，

∴EF⊥OA．

（3）如图，连接AF，

∵OE=1.5t，OF=2t，

∴BE=4﹣1.5t

∴S_△FOE=OE•OF=×1.5t×2t=t²，S_△ABE=×（4﹣1.5t）×3=6﹣t，

S_梯形ABOF=（2t+3）×4=4t+6

∵S_△AEF=S_{四边形ABOF}

∴S_△FOE+S_△ABE=S_梯形ABOF，

∴t²+6﹣t=（4t+6），即6t²﹣17t+12=0，

解得t=或t=．

∴当t=或t=时，S_△AEF=S_{四边形ABOF}．