Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3），点B的坐标为（3，0），
（1）求抛物线的解析式及顶点为D的坐标；
（2）求△CDB的面积；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使以点A、D、P为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）把点B与点C的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求解，把解析式整理成顶点式即可写出顶点坐标；
（2）先利用待定系数法求出直线CD的解析式，然后求出与x轴的交点坐标，再根据x轴把△CDB分成两个三角形，列式求解即可；
（3）先求出边AD，BC、AB的长度，根据数据可得∠B与∠D都是45°角，然后分AD与AB是对应边与AD与BC是对应边两种情况利用相似三角形对应边成比例列出比例式求出DP的长度，从而点P的坐标便可求出．

解答：解：（1）∵抛物线过点B（3，0），点C（0，3），
∴

32+3b+c=0 c=3

，
解得

b=-4 c=3

，
∴抛物线解析式为：y=x²-4x+3…2分
又y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴顶点D的坐标是：D（2，-1）…3分

（2）设直线CD的解析式为y=kx+b，
则

b=3 2k+b=-1

，
解得

k=-2 b=3

，
∴直线CD：y=-2x+3…4分
当y=0时，-2x+3=0，
解得x=1.5，
∴直线CD与x轴交于点（1.5，0）…5分
S_△CDB=

1

2

×（3-1.5）×3+

1

2

×（3-1.5）×1=

1

2

×6=3…6分

（3）存在点P（2，2）或（2，-

1

3

），使以点A、D、P为顶点的三角形与△ABC相似．
理由如下：设对称轴与x轴相交于点E，则AE=3-2=1，DE=|-1|=1，
∴AD=

DE2+AE2

=

2

，且∠ADE=45°，
在△ABC中，AB=3-1=2，
BC=

OC2+OB2

=

32+32

=3

2

，且∠ABC=45°，
设点P的坐标是（2，y），
∵△ADP与△ABC相似，
∴①当AD与AB是对应边时，

DP

BC

=

AD

AB

，
即

DP

3 2

=

2

2

，
解得DP=3，
y-（-1）=3，
解得y=2，
∴点P的坐标是（2，-1）
②当AD与BC是对应边时，

DP

AB

=

AD

BC

，
即

DP

2

=

2

3 2

，
解得DP=

2

3

，
y-（-1）=

2

3

，
解得y=-

1

3

，
∴点P的坐标是（2，-

1

3

）．
综上所述，点P的坐标是（2，2）或（2，-

1

3

）．…9分．

点评：本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，顶点坐标，三角形的面积，相似三角形对应边成比例的性质，综合性较强，（3）中注意相似三角形的对应边不明确，要分情况讨论求解，避免漏解而导致出错．