Question

已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC、OD．
（1）求证：∠D=90°-2∠BAC；
（2）若EB=8cm，CD=24cm，求⊙O的直径．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理

专题：

分析：（1）连接AD，OD，求得∠OAD=∠ODA，∠CAE=∠DAE，进而求得∠EOD=2∠OAD，即可求得∠ODE=90°-∠EOD=90°-2∠OAD=90°-2∠BAC．
（2）根据垂径定理得出ED=12cm，然后根据勾股定理即可求得⊙O的半径，进而求得直径．

解答：解：（1）连接AD，OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠EOD=∠OAD+∠ODA，
∴∠EOD=2∠OAD，
∵AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，
∴CE=DE，
∴AC=AD，
∴∠CAE=∠DAE，
∴∠ODE=90°-∠EOD=90°-2∠OAD=90°-2∠BAC．

（2）∵CD=24cm，EB=8cm，
∴ED=12cm，
在RT△OED中，OD=OB，
∵OD²=（OB-BE）²+DE²
设OD=OB=R
R²=（R-8）²+12²
解得R=13，
∴2R=26，
∴⊙O的直径为26cm

点评：本题考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，三角形的外角的性质等，应用垂径定理得出AB垂直平分CD是本题的关键．