Question

【题目】如图，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在边AB上运动，DE平分∠CDB交边BC于点E，EM⊥BD于M，EN⊥DC于N．

(1)当AD＝CD时，求证DE//AC；

(2)当∠MBE与△CNE的某一个内角相等时，求AD的长；

(3)当四边形MEND与△BDE的面积相等时，求AD的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）或；（3）

【解析】试题分析：（1）由等腰三角形的性质得出∠A=∠DCA，由三角形的外角性质和角平分线得出得出∠C=∠BDE，即可得出结论；（2）存在以下两种情况①当∠B=∠ECN时；②当∠B=∠CNE时，根据相似三角形的性质即可求得；（3）根据四边形MEND与△BDE的面积相等，得到△DME与△BME的面积相等．证明△BME∽△BCA，△CDE∽△CBD，即可解答．

试题解析：

（1）证明：∵AD＝CD，　　

∴∠A＝∠ACD．　　　

∵∠CDB＝∠A＋∠ACD，

∴∠CDB＝2∠A．　　　

∵DE平分∠CDB，

∴∠BDE＝∠CDB＝∠A．

∴DE∥AC．　　　　　

（2）∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，

∴AB＝5．　　　　

∵EM⊥BD，EN⊥CD，

∴∠BME＝∠CNE＝90°．

存在以下两种情况

①当∠B＝∠ECN时

∴CD＝BD，

∵∠B＋∠A＝90°，∠ECN＋∠ACD＝90°，

∴∠A＝∠ACD．

∴CD＝AD．

∴AD＝BD＝．

②当∠B＝∠CNE时

∴NE∥AB．

∴∠ADC＝∠CNE＝90°．

∴∠ADC＝∠ACB．　　

∵∠A＝∠A，

∴△ACD∽△ABC，

∴．

∴．

（3）∵∠EDN＝∠EDM，∠DNE＝∠DME＝90°，DE＝DE，

∴△DNE≌△DME．

∵四边形MEND与△BDE的面积相等，

∴△DME与△BME的面积相等．

∴DM＝BM．　　

∵EM⊥BD，

∴DE＝BE．

∴∠B＝∠BDE＝∠CDE．

∵∠B＝∠B，∠BME＝∠ACB＝90°，

∴△BME∽△BCA．

∴．

∴．

∵∠DCE＝∠DCB，

∴△CDE∽△CBD．

∴．

∴CD＝．　　　　　　

∴CE＝．

∴BD＝．

∴BE＝．

∴AD＝AB-BD=5-=．