Question

【题目】21．（2013年四川攀枝花8分）某文具店准备购进甲，乙两种铅笔，若购进甲种钢笔100支，乙种铅笔50支，需要1000元，若购进甲种钢笔50支，乙种钢笔30支，需要550元．

（1）求购进甲，乙两种钢笔每支各需多少元；

（2）若该文具店准备拿出1000元全部用来购进这两种钢笔，考虑顾客需求，要求购进甲中钢笔的数量不少于乙种钢笔数量的6倍，且不超过乙种钢笔数量的8倍，那么该文具店共有几种进货方案；

（3）若该文具店销售每支甲种钢笔可获利润2元，销售每支乙种钢笔可获利润3元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大；最大利润是多少元．

Answer 1

【答案】（1）甲，乙两种钢笔每支各需5元和10元；（2）六种；（3）乙钢笔20支，甲钢笔160支时获利最大，最大利润为380元．

【解析】

（1）先设购进甲，乙两种钢笔每支各需a元和b元，根据购进甲种钢笔100支，乙种铅笔50支，需要1000元，若购进甲种钢笔50支，乙种钢笔30支，需要550元列出方程组，求出a，b的值即可．

（2）先设购进甲钢笔x支，乙钢笔y支，根据题意列出5x+10y=1000和不等式组6y≤x≤8y，把方程代入不等式组即可得出20≤y≤25，求出y的值即可．

（3）先设利润为W元，得出W=2x+3y=400﹣y，根据一次函数的性质求出最大值．

解：（1）设购进甲，乙两种钢笔每支各需a元和b元，根据题意得：

，解得：．，

答：购进甲，乙两种钢笔每支各需5元和10元．

（2）设购进甲钢笔x支，乙钢笔y支，根据题意可得：

，解得：20≤y≤25．

∵x，y为整数，∴y=20，21，22，23，24，25共六种方案．

∵5x=1000﹣10y＞0，∴0＜y＜100．

∴该文具店共有6种进货方案．

（3）设利润为W元，则W=2x+3y，

∵5x+10y=1000，∴x=200﹣2y，代入上式得：W=400﹣y．

∵W随着y的增大而减小，

∴当y=20时，W有最大值，最大值为W=400﹣20=380（元）．

即当乙钢笔20支，甲钢笔160支时获利最大，最大利润为380元．