题目内容
如图，矩形ABCD中，过点B作AC的垂线交线段AD于E，垂足为F．若△CDF为等腰三角形，则| AE | AD |
分析：根据△CDF为等腰三角形，可以分三种情况进行讨论：①FC=FD，②DF=DC，③CF=CD；
①当点E与点D重合时，即四边形为正方形时，很容易得出结论；
②当DF=CD，作DM⊥CF于M点，利用已知条件求证△ABF≌△CDM，然后即可得出
；
③根据△ABF∽△BCF，利用其对应边成比例得CD2=AD•AE，再利用（AAS）求证△BFC≌△ABE可得AE=BF，然后利用勾股定理解得关于AD的方程即可．
①当点E与点D重合时，即四边形为正方形时，很容易得出结论；
②当DF=CD，作DM⊥CF于M点，利用已知条件求证△ABF≌△CDM，然后即可得出
| AE |
| AD |
③根据△ABF∽△BCF，利用其对应边成比例得CD2=AD•AE，再利用（AAS）求证△BFC≌△ABE可得AE=BF，然后利用勾股定理解得关于AD的方程即可．
解答：解：①当FC=FD，点E与点D重合时，即四边形为正方形，则
=1；
②当DF=CD，作DM⊥CF于M点，
∵DF=CD，
∴FM=CM，
∵∠DCM=BAF，CD=AB，
∴△ABF≌△CDM，
∴AF=CM，
∴
=
=
=
；
③当FC=DC，∵四边形ABCD是矩形，BF⊥AC，
∴△ABF∽△BCF，
∴
=
，
=
，
则CD2=AD•AE，
∵FC=DC，四边形ABCD是矩形，BF⊥AC，
∴△BFC≌△ABE，（AAS）
∴AE=BF，
在Rt△ABE中，AE2=BE2-AB2=AD2-CD2，
∴AE=
=
，
∴AE2=AD2-AD•AE，
AD2-AD•AE-AE2=0，
解得AD=
AE，AD=
AE（不合题意舍去），
∴
=
=
．
故答案为：1；
；
．
| AE |
| AD |
②当DF=CD，作DM⊥CF于M点，
∵DF=CD，
∴FM=CM，
∵∠DCM=BAF，CD=AB，
∴△ABF≌△CDM，
∴AF=CM，
∴
| AE |
| AD |
| AE |
| BC |
| AF |
| FC |
| 1 |
| 2 |
③当FC=DC，∵四边形ABCD是矩形，BF⊥AC，
∴△ABF∽△BCF，
∴
| AB |
| BC |
| BF |
| FC |
| CD |
| AD |
| AE |
| CD |
则CD2=AD•AE，
∵FC=DC，四边形ABCD是矩形，BF⊥AC，
∴△BFC≌△ABE，（AAS）
∴AE=BF，
在Rt△ABE中，AE2=BE2-AB2=AD2-CD2，
∴AE=
| AD2-CD2 |
| AD2-AD•AE |
∴AE2=AD2-AD•AE，
AD2-AD•AE-AE2=0，
解得AD=
1+
| ||
| 2 |
1-
| ||
| 2 |
∴
| AE |
| AD |
| 2 | ||
1+
|
| ||
| 2 |
故答案为：1；
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
点评：此题主要考查相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，此题要采用分类讨论的思想，是一道难题．
练习册系列答案
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| ||
| B、a≥b | ||
C、a≥
| ||
| D、a≥2b |
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