题目内容

如图，已知ABC的顶点B、C为定点，A为动点（不在直线BC上），B'是点B关于直线AC的对称点，C'是点C关于直线AB的对称点，连结BC'、CB'、BB'、CC'。

（1）猜想线段BC'与CB'的数量关系，并证明你的结论；
（2）当点A运动到怎样的位置时，四边形BCB'C'为菱形？这样的位置有几个？请用语言对这样的位置进行描述；（不用证明）
（3）当点A在线段BC的垂直平分线（BC的中点及到BC的距离为

的点除外）上运动时，判断以点B、C、B'、C'为顶点的四边形的形状，画出相应的示意图。（不用证明）

解：（1）结论：BC'=CB'；
证明：∵C'是C关于AB的对称点，
∴AB垂直平分线段CC'，
即直线AB是线段CC'的中垂线，
∴BC=BC'，
同理AC是线段BB'的中垂线，
∴BC=CB'，
∴BC'=CB'；
（2）如图（2）当点A在以BC为直径的圆（除B、C两点）上时，
四边形BCB'C'为菱形，因此这样的位置有无数多个；
（3）当点A在线段BC的垂直平分线（BC的中点及到BC的距离为的两点除外）上运动时，以点B、C、B'、C'为顶点的四边形的形状有可能是正方形或等腰梯形：
①如图①，当△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形时，四边形是正方形；
②如图②，当△ABC不是直角三角形时，四边形是梯形。

图（2）

练习册系列答案

如图，在平面直角坐标系中，已知：△ABC的三个顶点的坐标分别是A（4，6）、B（0，0）、C（6，0）．
（1）求AO、AB所在直线的函数解析式；
（2）在△AOB内可以作一个正方形CDEF，使它的三个顶点分别落在边AO、AB上，E、F两个顶点落在OB上，请求出这个正方形四个顶眯的坐标，并在图中画出这个正方形；
（3）连接OC，在线段OC上任取一点P，过P作与x轴、y轴的不行线与OA、OB分别交于M、N两点，过M作OB边的垂线与OB交于H；你有什么发现？请写出来，并说明理由．

（2006•黔东南州）如图，在平面直角坐标系中，已知：△ABC的三个顶点的坐标分别是A（4，6）、B（0，0）、C（6，0）．
（1）求AO、AB所在直线的函数解析式；
（2）在△AOB内可以作一个正方形CDEF，使它的三个顶点分别落在边AO、AB上，E、F两个顶点落在OB上，请求出这个正方形四个顶眯的坐标，并在图中画出这个正方形；
（3）连接OC，在线段OC上任取一点P，过P作与x轴、y轴的不行线与OA、OB分别交于M、N两点，过M作OB边的垂线与OB交于H；你有什么发现？请写出来，并说明理由．

问题提出

我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定他们的大小，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差M－N，若M－N＞0，则M＞N；若M－N＝0，则M＝N；若M－N＜0，则M＜N．

问题解决

如图1，把边长为a＋b(a≠b)的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个矩形，试比较两个小正方形面积之和M与两个矩形面积之和N的大小．

解：由图可知：M＝a²＋b²，N＝2ab．

∴M－N＝a²＋b²－2ab＝(a－b)²．

∵a≠b，∴(a－b)²＞0．

∴M－N＞0．

∴M＞N．

类比应用

1.已知：多项式M ＝2a²－a＋1 ，N ＝a²－2a ．试比较M与N的大小．

2.已知：如图，锐角△ABC (其中BC为a，AC为b，AB为c)三边

满足a ＜b ＜ c ，现将△ABC 补成长方形，使得△ABC的两个顶

点为长方形的两个端点，第三个顶点落在长方形的这一边的对边上。

①这样的长方形可以画个；

②所画的长方形中哪个周长最小？为什么？

拓展延伸

已知：如图，锐角△ABC (其中BC为a，AC为b，AB为c)三边满足a ＜b ＜ c ，画其BC边上的内接正方形EFGH , 使E、F两点在边BC上，G、H分别在边AC、AB上，同样还可画AC、AB边上的内接正方形，问哪条边上的内接正方形面积最大？为什么？

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