Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，取EF的中点G，连接CG，BG，BD，DG，下列结论：

①BE=CD；

②∠DGF=135°；

③∠ABG+∠ADG=180°；

④若，则．

其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）

Answer 1

【答案】①③④．

【解析】

先求出∠BAE=45°，判断出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AB=BE，∠AEB=45°，从而得到BE=CD，故①正确；
再求出△CEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得CG=EG，再求出∠BEG=∠DCG=135°，然后利用“边角边”证明△DCG≌△BEG，得到∠BGE=∠DGC，由∠BGE<∠AEB，得到∠DGC=∠BGE<45°，∠DGF<135°，故②错误；
由于∠BGE=∠DGC，得到∠ABG+∠ADG=∠ABC+∠CBG+∠ADC-∠CDG=∠ABC+∠ADC=180°，故③正确；
由△BGD是等腰直角三角形得到BD==，求得S△BDG，过G作GM⊥CF于M，求得S△DGF，进而得出答案．

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=45°，

∴△ABE是等腰直角三角形，

∴AB=BE，∠AEB=45°，

∵AB=CD，

∴BE=CD，故①正确；

∵∠CEF=∠AEB=45°，∠ECF=90°，

∴△CEF是等腰直角三角形，

∵点G为EF的中点，

∴CG=EG，∠FCG=45°，

∴∠BEG=∠DCG=135°，

在△DCG和△BEG中，

∵BE=CD，∠BEG=∠DCG，CG=EG，

∴△DCG≌△BEG（SAS）．

∴∠BGE=∠DGC，

∵∠BGE＜∠AEB，

∴∠DGC=∠BGE＜45°，

∵∠CGF=90°，

∴∠DGF＜135°，故②错误；

∵∠BGE=∠DGC，

∴∠ABG+∠ADG=∠ABC+∠CBG+∠ADC﹣∠CDG=∠ABC+∠ADC=180°，故③正确；

∵△DCG≌△BEG，

∵∠BGE=∠DGC，BG=DG，

∵∠EGC=90°，

∴∠BGD=90°，

∵BD==，

∴BG=DG=，

∴S△BDG==，

∴3S△BDG=，过G作GM⊥CF于M，

∵CE=CF=BC﹣BE=BC﹣AB=1，

∴GM=CF=，

∴S△DGF=DFGM==，

∴13S△DGF=，

∴，故④正确．

故答案为：①③④．