Question

14．已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：
①b²-4ac＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0． 其中，正确结论的有①②③④．

Answer 1

分析 ①由图象与x轴的交点可以判断；
②根据开口方向可以判断a的正负，根据顶点坐标所在的位置可以判断b的正负，根据与y轴的交点可以判断c的正负，从而可以解答本题；
③根据对称轴可以确定a、b的关系，由x=-2对应的函数图象，可以判断该结论是否正确；
④根据对称轴和二次函数具有对称性可以判断该结论是否正确．

解答 解：由二次函数的图象与x轴两个交点可知，b²-4ac＞0，故①正确；
由二次函数的图象可知，开口向上，则a＞0，顶点在y轴右侧，则b＜0（左同右异），图象与y轴交于负半轴，则c＜0，故abc＞0，故②正确；
由图象可知：$-\frac{b}{2a}=1$，则b=-2a，当x=-2时，y=4a-2b+c＞0，则y=4a-2×（-2a）+c＞0，即8a+c＞0，故③正确；
由图象可知：此函数的对称轴为x=1，当x=-1时和x=3时的函数相等并且都小于0，故x=3时，y=9a+3b+c＜0，故④正确；
故答案为：①②③④．

点评 本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确二次函数的性质，利用数形结合的思想将图象与所求的结论结合在一起，由图象可以判断题目中的结论是否正确．