Question

如图，在等腰Rt△ABC中，D是斜边BC的中点，以D为顶点的直角的两边分别与边AB，AC交于点E，F．当∠EDF绕顶点D旋转时（点E不与A，B重合），试判断DE与DF的数量关系，并证明．

Answer 1

解：DF=DE，
理由：∵Rt△ABC是等腰三角形，
∴∠C=∠B=45°，
∴D是斜边BC的中点，
∴∠DAB=∠DAC=∠BAC=45°，AD⊥BC，
∴AD=DC，
∵∠EDF=90°，
∴∠ADF+∠ADE=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADF+∠FDC=90°，
∴∠ADE=∠FDC，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△AED≌△CFD（ASA），
∴DF=DE．
分析：首先根据等腰三角形的性质可得∠DAB=∠DAC=∠BAC，AD⊥BC，再证明∠C=∠B=45°，∠ADE=∠FDC，AD=DC可以利用ASA定理证明△AED≌△CFD，进而得到DE=DF．
点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握证明三角形全等是证明角相等，线段相等的重要方法．