Question

在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中点，AD=5，BC=12，CD=4，∠C=45°，点P是BC边上一动点，设PB=x。

（1）当x取什么值时，四边形为APED为直角梯形。

（2）当x取什么值时，以P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形。

（3）当点P在BC上运动过程中，以P、A、D、E为顶点的四边形能否为菱形，请说明理由。

Answer 1

（1）过A作AP⊥BC于 P,过点D作DF⊥BC于F

由PF=AD=5

∵∠C=45°CD=4

∴DF=CF=4             

∴X=PB=12-4-5=3  …………2分

(2)当P在E的左侧时

∵AD∥BC

∴当PE=AD时，四边形APED为平行四边形

∴PB=6-5=1  …………4分

当P在E的右侧时

∵AD∥BC                             

∴当PE=AD=5时，四边形APED为平行四边形

∴PB=6+5=11

∴X=1或11  …………6分

（3）∵以P、A、D、E为顶点的四边形是菱形

∴以P、A、D、E为顶点的四边形必须是平行四边形

由（2）得

∴PB=1或11   …………7分

①当PB=1时，DF=CF=4

∴EF=6-4=2

∴DE==2≠AD

∴四边形PADE不是菱形 …………8分

②当PB=11时，DF=CF=4

PE=4-1=3

∴PD==5=AD

∴四边形PADE是菱形 …………9分