Question

（2013年四川资阳3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上的点，CD=1，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是

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Answer 1

【答案】

1+。

【解析】连接CE，交AD于M，

∵沿AD折叠C和E重合，∴∠ACD=∠AED=90°，AC=AE，∠CAD=∠EAD。

∴AD垂直平分CE，即C和E关于AD对称，CD=DE=1。

∴当P和D重合时，PE+BP的值最小，即可此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BC。

∵∠DEA=90°，∴∠DEB=90°。

∵∠B=60°，DE=1，∴BE=，BD=，即BC=1+。

∵∠ACB=90°，∠B=60°，∴∠CAB=30°。

∴AB=2BC=2×（1+）=2+。AC=BC=+2。

∴BE=AB﹣AE=2+﹣（+2）=。

∴△PEB的周长的最小值是BC+BE=1++=1+。

考点：翻折变换（折叠问题），单动点问题，轴对称的应用（最短路线问题），含30度角的直角三角形的性质。