Question

如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=6，BD=8，E为AD中点，点P在x轴上移动，请你写出所有使△POE为等腰三角形的P点坐标

 

．

Answer 1

考点：菱形的性质,坐标与图形性质,等腰三角形的判定

专题：分类讨论

分析：根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA、OD，再利用勾股定理列式求出AD，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE，然后分①OE=OP时，求出点P的坐标，②OE=PE时点P和点D重合，③OP=OE时，点P在OE的垂直平分线上，求出OP的长度，然后写出点P的坐标即可．

解答：解：∵在菱形ABCD中对角线AC=6，BD=8，
∴OA=3，OD=4，
∴AD=

OA2+OD2

=

32+42

=5，
∵E为AD中点，
∴OE=

1

2

AD=

1

2

×5=2.5，
①OE=OP时，OP=2.5，
∴点P的坐标为（2.5，0）或（-2.5，0），
②OE=PE时点P和点D重合，P（4，0），
③OP=PE时，点P在OE的垂直平分线，
∴OP=

1

2

（

1

2

×5）÷

4

5

=

25

16

，
点P（

25

16

，0），
综上所述，点P的坐标为（2.5，0）或（-2.5，0）或（4，0）或（

25

16

，0）．
故答案为：（2.5，0）或（-2.5，0）或（4，0）或（

25

16

，0）．

点评：本题考查了菱形的性质，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论．