Question

（2013•莲湖区一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米．M点在线段CA上，从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒．△AMN的最大面积是

180

13

平方米

．

Answer 1

分析：首先过点N作NH⊥AC于点H，由在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米，利用勾股定理即可求得AB的长，设运动时间为t秒，可表示出AM的长，然后由相似三角形的对应边成比例，可表示出NH的长，然后由二次函数的最值，求得答案．

解答：解：过点N作NH⊥AC于点H，
∵在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米，
∴AB=

BC2+AC2

=13（米），
设运动时间为t秒，
∴CM=t（米），AM=AC-CM=12-t（米），AN=2t（米），
∵∠A=∠A，∠NHA=∠C=90°，
∴△ANH∽△ABC，
∴

AN

AB

=

NH

BC

，
即

2t

13

=

NH

5

，
∴NH=

10

13

t，
∴S_△AMN=

1

2

AM•NH=

1

2

（12-t）×

10

13

t=-

5

13

（t-6）²+

180

13

．
∴△AMN的最大面积是

180

13

平方米．
故答案为：

180

13

平方米．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理以及二次函数的最值问题．此题难度适中，属于动点问题，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．