Question

【题目】（问题背景）

如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点是轴上的一个动点.当点在轴上移动时，始终保持是等腰直角三角形，且(点、、按逆时针方向排列)；当点移动到点时，得到等腰直角三角形(此时点与点重合).

（初步探究）

(1)写出点的坐标______.

(2)点在轴上移动过程中，当等腰直角三角形的顶点在第四象限时，连接.

求证：；

（深入探究）

(3)当点在轴上移动时，点也随之运动.经过探究发现，点的横坐标总保持不变，请直接写出点的横坐标：______.

（拓展延伸）

(4)点在轴上移动过程中，当为等腰三角形时，直接写出此时点的坐标.

备用图

Answer 1

【答案】(1)(1，1)；(2)证明见解析；(3)1；(4).

【解析】

根据等腰直角三角形的性质，OA=AB，题干中已知A点坐标，即可求得OB的长度，表示出B点坐标即可.

根据等腰直角三角形的性质得到，再根据等角的余角相等，得出角，最后利用三角形全等的判定方法进行判定即可.

根据（2）的结论△ABP也为直角三角形，且AB垂直BP，且AB=OB=1，即可得出P点的横坐标.

先根据题意，确定B点、A点坐标，设出P点和C点坐标，分情况进行讨论，当OP=OB时，当OB=BP时，当OP=BP时，分别利用两点间距离公式求出点P点的坐标，然后分别算出AP的长，最后利用AP=AC计算出A点坐标即可.

解：(1)∵点A的坐标为（0，1）

△OAB是等腰直角三角形，且OA=AB，OA⊥BA

∴B点坐标为.

(2)证明：在等腰直角三角形中，，

在等腰直角三角形中，，

在和中

(3)（已证）

∴∠ABP=90°

∴PB垂直AB，P点在过B点且垂直与AB的垂线上，

∵点B的坐标为（1,1）

∴P点的横坐标为1.

(4)由题意和（1）可知，

设P（1，y），C（x，0），

当OB=OP时，，

解得:或，

则或，

解得：，

所以C点坐标为（）或（）

同理当OB=OP时，可得C点坐标为（-2,0）

当BP=OP时，可得C点坐标为（-1,0）

故答案为：