Question

【题目】如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 D 作 DE AB 于点 E ，点 F在边 CD 上， DF BE ，连接 AF , BF ．

（1）求证：四边形 BFDE 是矩形；

（2）若 AF 平分 DAB ， CF3,BF4 ，求 DF 长．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)5.

【解析】

（1）证DF=BE，DF∥BE，得四边形BFDE是平行四边形再由DE⊥AB，得四边形BFDE是矩形.

（2）根据勾股定理可求BC，由平行四边形性质得AD=BC，由等腰三角形性质得DF=AD.

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥DC，

∵DF=BE

∴四边形BFDE是平行四边形，

∵DE⊥AB

∴四边形BFDE是矩形，

（2）解：∵四边形BFDE是矩形，

∴∠BFD＝90°，

∴∠BFC＝90°，

在Rt△BCF中,CF=3，BF=4，

∴BC=5 ，

∵AF平分∠DAB，

∴∠DAF=∠BAF,

∵AB∥DC,

∴∠DFA=∠BAF,

∴∠DAF=∠DFA，

∴AD=DF，

∵AD=BC，

∴DF=BC，

∴DF=5.