Question

如图，任意画一个∠A＝60º的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD交AB、CE于点D、E，BE和CD交于点P，连结AP．以下结论：

①∠BPC＝120°；②PD＝PE；③BC＝BD＋CE；④S_?PBD＋S_?PCE＝S_?PBC ；⑤AD＋AE＝AP。

其中正确的序号是    。

 

Answer 1

【答案】

①②③④⑤

【解析】

试题分析：解：∵BE、CD分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，∠BAC=60°，

∴∠PBC+∠PCB=（180°-∠BAC）=（180°-60°）=60°，

∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-60°=120°，故①正确；

∵∠BPC=120°，∴∠DPE=120°，

过点P作PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，∵BE、CD分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，

∴AP是∠BAC的平分线，PF=PG=PH，

∵∠BAC=60°∠AFP=∠AGP=90°，∴∠FPG=120°，∴∠DPF=∠EPG，在△PFD与△PGE中，

∵

∴△PFD≌△PGE，∴PD=PE，

在Rt△BHP与Rt△BFP中，

∵PF=PH，BP=BP

∴Rt△BHP≌Rt△BFP，同理，Rt△CHP≌Rt△CGP，

∴BH=BD+DF①，CH=CE-GE②，两式相加得，BH+CH=BD+DF+CE-GE，

∵DF=EG，∴BC=BD+CE，∴S△PBD+S△PCE=S△PBC，故③④正确；

∵AP是∠BAC的平分线，∠BAC=60°，∴∠BAP=∠CAP=30°，

∴AD-DF=AF=AP，AE+EG=AP，

∵DF=EG，∴AD+AE=AP，故⑤正确．

考点：全等三角形等

点评：本题难度较大，主要考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．