Question

如图，任意画一个∠A=60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD交AB、CE于点D、E，BE和ED交于点P，连接AP．以下结论：
①∠BPC=120°；②PD=PE；③S_△PBD+S_△PCE=S_△PBC；④AD+AE=AP．
其中正确的序号是

1. A.
   ①②③④
2. B.
   ①②③
3. C.
   ①②④
4. D.
   ②③④

Answer 1

A
分析：由于BE、CD分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，∠BAC=60°可得出∠PBC+∠PCB的度数，再由三角形内角和定理可求出∠BPC的度数；由∠BPC=120°可知∠DPE=120°，过点P作PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，由角平分线的性质可知AP是∠BAC的平分线，PF=PG=PH，故∠AFP=∠AGP=90°，由四边形内角和定理可得出∠FPG=120°，故∠DPF=∠EPG，由全等三角形的判定定理可得出△PFD≌△PGE，故可得出PD=PE；由三角形全等的判定定理可得出△BHP≌△BFP，△CHP≌△CGP，故可得出BH=BD+DF，CH=CE-GE，再由DF=EG可得出BC=BD+CE，故可得出S_△PBD+S_△PCE=S_△PBC；由AP是∠BAC的平分线可用AP表示出AF及AG的长，再根据DF=EG即可得出AD+AE=AP．
解答：解：∵BE、CD分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，∠BAC=60°，
∴∠PBC+∠PCB=（180°-∠BAC）=（180°-60°）=60°，
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-60°=120°，故①正确；
∵∠BPC=120°，
∴∠DPE=120°，
过点P作PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，
∵BE、CD分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，
∴AP是∠BAC的平分线，PF=PG=PH，
∵∠BAC=60°∠AFP=∠AGP=90°，
∴∠FPG=120°，
∴∠DPF=∠EPG，
在△PFD与△PGE中，
∵，
∴△PFD≌△PGE，
∴PD=PE，
在Rt△BHP与Rt△BFP中，
∵
∴Rt△BHP≌Rt△BFP，
同理，Rt△CHP≌Rt△CGP，
∴BH=BD+DF①，CH=CE-GE②，
两式相加得，BH+CH=BD+DF+CE-GE，
∵DF=EG，
∴BC=BD+CE，
∴S_△PBD+S_△PCE=S_△PBC，故③正确；
∵AP是∠BAC的平分线，∠BAC=60°，
∴∠BAP=∠CAP=30°，
∴AD-DF=AF=AP，AE+EG=AP，
∵DF=EG，
∴AD+AE=AP，故④正确．
故选A．
点评：本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．