Question

如图，以等边△OAB的边OB所在直线为x轴，点O为坐标原点，使点A在第一象限建立平面直角坐标系，其中△OAB边长为6个单位，点P从O点出发沿折线OAB向B点以3单位/秒的速度向B点运动，点Q从O点出发以2单位/秒的速度沿折线OBA向A点运动，两点同时出发，运动时间为t（单位：秒），当两点相遇时运动停止．

（1）点A坐标为

 

，P、Q两点相遇时交点的坐标为

 

；
（2）当t=2时，S_△OPQ=

 

；当t=3时，S_△OPQ=

 

；
（3）设△OPQ的面积为S，试求S关于t的函数关系式；
（4）当△OPQ的面积最大时，试求在y轴上能否找一点M，使得以M、P、Q为顶点的三角形是Rt△？若能找到请求出M点的坐标，若不能找到请简单说明理由．

Answer 1

分析：（1）过A作AC⊥x轴于C，通过解直角三角形，易求得A点坐标；当P、Q相交时，两点的运动的距离总和为△OAB的周长，然后过交点作x轴的垂线，同上可求得此交点的坐标．
（2）当t=2时，P、A重合，Q在线段OB上，以OB为底、A点纵坐标为高可求得△OPQ的面积；
当t=3时，Q、B重合时，P在线段AB上，易得BP的长，BP•sin60°即为△OPQ的高，底边OB的长为△OAB的边长，由此可得到△OPQ的面积．
（3）此题应分三种情况讨论：
①当0≤t≤2时，点P在线段OA上，点Q在线段OB上，易求得OQ、OP的长，以OQ为底，OP•sin60°为高即可得到S、t的函数关系式；
②当2＜t≤3时，点P在线段AB上，点Q在线段OB上，解法同①；
③3＜t≤

18

5

时，点P、Q都在线段AB上，可由△OPB、△OQB的面积差得到△OPQ的面积，从而求得S、t的函数关系式．
（4）讲过计算可知当S最大时，P、A重合；然后分三种情况讨论：
①以P为直角顶点，即PM⊥PQ，可过P作PC⊥x轴于C，过M作PC的垂线，通过Rt△PMN∽△QPC，求得PN、OM的长，进而可得到M点的坐标；
②以Q为直角顶点，解法同①；
③取PQ的中点D，以D为圆心，PQ为直径作圆，过P、D作y轴的垂线，设垂足为E、F；易求得PE、OQ的长，根据梯形中位线定理即可求得DF的长，然后同⊙D的半径进行比较，发现⊙D的半径要小于DF的长，即⊙D与y轴相离，故此种情况不成立．

解答：解：（1）过A作AC⊥x轴于C，在Rt△OAC中，OA=6，∠AOC=60°，则OC=3，AC=3

3

，
由此可得A（3，3

3

）；
当P、Q相遇时，3t+2t=18，即t=

18

5

；
此时P、Q都在线段AB上，且QB=2×

18

5

-6=

6

5

，同上可求得此交点坐标为（

27

5

，

3

5

3

）；
故：A点坐标为(3，3

3

)、交点坐标为(

27

5

，

3

5

3

)．

（2）当t=2时，P、A重合，S_△OPQ=

1

2

×4×3

3

=6

3

；
当t=3时，Q、B重合，此时PB=12-3×3=3，△OPQ的高为：PB•sin60°=

3 3

2

，
∴S_△OPQ=

1

2

×6×

3 3

2

=

9

2

3

；
故当t=2时，S_△OPQ=6

3

；当t=3时，S_△OPQ=

9

2

3

．

（3）①当0≤t≤2时，P在线段OA上，Q在线段OB上；
S=

1

2

OQ•OPsin60°=

1

2

×3t×2t×

3

2

=

3 3

2

t2；
②当2＜t≤3时，P在线段AB上，Q在线段OB上；
设OQ边上的高为h，

h

3 3

=

12-3t

6

，解得h=6

3

-

3 3

2

t，
S=

1

2

OQ•h=

1

2

×2t×（6

3

-

3 3

2

t）=-

3 3

2

t²+6

3

t；
③当3＜t≤

18

5

时，P、Q都在线段AB上，
PQ=6-（3t-6）-（2t-6）=18-5t，
S=

1

2

×3

3

×（18-5t）=-

15

2

3

t+27

3

；
故：S=

3 3 2 t2  (0≤t≤2) - 3 3 2 t2+6 3 t (2＜t≤3) - 15 3 2 t+27 3 (3＜t≤ 18 5 )

．

（4）对（3）中的分段函数进行计算后得知当t=2，S有最大值，
此时P与A重合，OP=6，OQ=4，过P作PC⊥OB于C点，计算得OC=3，AC=3

3

，CQ=1，PQ=2

7

①如图①，过P作PM⊥PQ交y轴于M点，过M作MN⊥AC于N，则MN=OC=3，易得Rt△PMN∽△QPC，
有

MN

PC

=

PN

CQ

即

3

3 3

=

PN

1

，得PN=

3

3

，MO=NC=

8

3

3

故M点坐标为(0，

8

3

3

)．
②如图②，过Q作MQ⊥PQ交y轴于M点，通过△MOQ∽△QCP，求得M坐标为(0，-

4

9

3

)．
③如图③，以PQ为直径作⊙D，则⊙D半径r为

7

，再过P作PE⊥y轴于E点，过D作DF⊥y轴于F点，
由梯形中位线求得DF=

7

2

，显然r＜DF，故⊙D与y无交点，那么此时在y轴上无M点使得△MPQ为直角三角形．
综上所述，满足要求的M点(0，

8

3

3

)或(0，-

4

9

3

)．

点评：此题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质、图形面积的求法以及二次函数最值的应用、直角三角形的判定等知识，同时还涉及到分类讨论的数学思想，难度较大．