Question

（原创题）如图，以等边△OAB的边OB所在直线为x轴，点O为坐标原点，使点A在第一象限建立平面直角坐标系，其中△OAB边长为4个单位，点P从O点出发沿折线OAB向B点以2个单位/秒的速度向终点B点运动，点Q从B点出发以1个单位/秒的速度向终点O点运动，两点同时出发，运动时间为t（单位：秒）．
①直接写出P与Q点的坐标，并注明t的取值范围；
②当t=

 

时，PQ⊥OA；当t=

 

时，PQ⊥AB；当t=

 

时，PQ⊥OB；
③△OPQ面积为S，求S关于t的函数关系式并指出S的最大值；
④若直线PQ将△OAB分成面积比为3：5两部分，求此时直线PQ的解析式；若不能请说明理由．

Answer 1

分析：（1）当P在OA上，即0≤t≤2；当P在AB上，即2＜t≤4，分别过P作x轴的垂线，利用含30°的直角三角形三边的关系即可得到P点坐标；
（2）当PQ⊥AB，即∠OQP=30°，利用含30°的直角三角形三边的关系得到OQ=2OP，即4-t=2•2t；当PQ⊥AB，同理得到BQ=2PB，即t=2（8-2t）；当PQ⊥OB，由（1）得P点和Q点的横坐标总是相等的，得到OQ=BQ，即4-t=t；分别解出t的值即可；
（3）分类讨论：当0≤t≤2时，S=

1

2

•（4-t）•

3

t=-

3

2

t²+2

3

t；当2＜t≤4时，S=

1

2

•（4

3

-

3

t）•（4-t）=

3

2

（t-4）²，然后根据二次函数的最值问题即可得到S的最大值；
（4）讨论：①当P在OA、Q在OB上，即0≤t≤2时，若S_△OPQ=

3

8

S_△AOB；若S_△OPQ=

5

8

S_△AOB，分别建立方程，解方程求出t的值，确定P与Q的坐标，然后利用待定系数法求直线PQ的解析式；②同样的方法去求当P在AB、Q在OB上，即2＜t≤4时，P与Q的坐标．

解答：解：（1）P（t，

3

t）（0≤t≤2）；P（t，4

3

-

3

t）（2＜t≤4）；Q（4-t，0）；

（2）如图，当PQ⊥AB，即∠OQP=30°，
∵OP=2t，OQ=4-t，
∴OQ=2OP，即4-t=2•2t，解得t=

4

5

；
当PQ⊥AB，即有∠PQB=30°，
∵BP=8-2t，BQ=t，
∴BQ=2PB，即t=2（8-2t），解得t=

16

5

；
当PQ⊥OB，由（1）得P点和Q点的横坐标总是相等的，
∴OQ=BQ，即4-t=t，解得t=2；
故答案为

4

5

；

16

5

；2．

（3）①当0≤t≤2时，S=

1

2

•（4-t）•

3

t=-

3

2

t²+2

3

t，
∴当t=-

2 3

2•(- 3 2 )

=2时，S有最大值，其最大值=

0-(2 3 ) 2

4•(- 3 2 )

=2

3

；
②当2＜t≤4时，S=

1

2

•（4

3

-

3

t）•（4-t）=

3

2

（t-4）²，
∴在2＜t≤4范围内，S随t的增大而减小，并且当t=2时，S的最大值为2

3

，
∴2＜t≤4时，S＜2

3

；
综上所述，当t=2时，S有最大值2

3

；

（4）S_△AOB=

3

4

•4²=4

3

，
①当P在OA、Q在OB上，即0≤t≤2时，
若S_△OPQ=

3

8

S_△AOB，
∴-

3

2

t2+2

3

t=

3

2

3

，解得t=1或3（舍去），
此时P点坐标为（1，

3

）、Q点坐标为（3，0），
设直线PQ的解析式为：y=kx+b，
∴k+b=

3

，3k+b=0，解得k=-

3

2

，b=

3 3

2

，
∴y=-

3

2

x+

3

2

3

；
若S_△OPQ=

5

8

S_△AOB，所列方程无解；
②当P在AB、Q在OB上，即2＜t≤4时，S△PQB=-

3

2

t2+2

3

t，
和①一样分别令S_△PQB等于

3

8

S_△AOB，

5

8

S_△AOB，解得t=3，
此时P为（3，

3

）、Q为（1，0），
用待定系数数法解得直线PQ的解析式为：y=

1

2

3

x-

1

2

3

．

点评：本题考查了利用待定系数法求直线的解析式的方法：设直线的解析式为：y=kx+b，然后把两确定的点的坐标代入求出k与b即可．也考查了等边三角形的性质和含30°的直角三角形三边的关系、二次函数的最大值问题以及分类讨论思想的运用．