Question

【题目】已知二次函数y＝ax（x﹣3）+c（a＜0；0≤x≤3），反比例函数y＝（x＞0，k＞0）图象如图1所示，反比例函y＝（x＞0，k＞0）的图象经过点P（m，n），PM⊥x轴，垂足为M，PN⊥y轴，垂足为N；且OM×ON＝12．（1）求k的值．

（2）确定二次函数y＝ax（x﹣3）+c（a＜0，0≤x≤3）对称轴，并计算当a取﹣1时二次函数的最大值．（用含有字母c的式子表示）

（3）当c＝0时，计算抛物线与x轴的两个交点之间的距离．

（4）如图2，当a＝1时，抛物线y＝ax（x﹣3）+c（a＜0，0≤x≤3）有一时刻恰好经过P点，且此时抛物线与双曲线y＝（x＞0，k＞0）有且只有一个公共点P（如图2所示），我们不妨把此时刻的c记作c1，请直接写出抛物线y＝ax（x﹣3）+c（a＜0，0≤x≤3）的图象与双曲线y＝（x＞0，k＞0）的图象有一个公共点时c的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)k＝12；（2 x＝，最大值为+c；（3）3；（4）见解析．

【解析】

（1）由OM×ON=12，则k=OM×ON，即可求解；
（2）y=ax（x-3）+c的对称轴为x==，当a=-1时，函数y=ax（x-3）+c=-x（x-3）+c，即可求解；
（3）当c=0时，此时令y=0，则ax（x-3）=0，则a＜0x（x-3）=0，即可求解；
（4）分c＜c1、c=c1、c＞c1、c＞4，四种情况分别求解即可．

解：（1）由OM×ON＝12，则k＝OM×ON＝12；

（2）y＝ax（x﹣3）+c的对称轴为x＝﹣＝，

当a＝﹣1时，函数y＝ax（x﹣3）+c＝﹣x（x﹣3）+c，

即y＝﹣x2﹣3x+c＝﹣（x+）2++c；

∴此时二次函数y＝﹣x（x﹣3）+c（a＜0；0≤x≤3）的最大值为+c；

（3）当c＝0时，二次函数y＝ax（x﹣3）+c＝ax（x﹣3）（a＜0；0≤x≤3）；

此时令y＝0，则ax（x﹣3）＝0，∵a＜0x（x﹣3）＝0；

即x＝0或3；

∴二次函数y＝ax（x﹣3）与x轴的两个交点为（0，0）和（3，0），

则抛物线与x轴的两个交点之间的距离为3；

（4）①当c＜c1时，

抛物线y＝﹣x（x﹣3）+c的图象与双曲线y＝没有公共点；

②当c＝c1时，

抛物线y＝﹣x（x﹣3）+c（a＜0；0≤x≤3）的图象与双曲线y＝有唯一公共点P；

③当c＞c1时，

抛物线向上平移，当抛物线右端点正好落在双曲线上时，不妨设此时点B的坐标为（3，c1），c1＝4，

∴当c1＜c≤4时，抛物线与双曲线有两个公共点；

④当c＞4时，抛物线y＝﹣x（x﹣3）+c（a＜0；0≤x≤3）的图象和双曲线始终有一个公共点；

所以当c＝c1时，c＞4时，抛物线y＝﹣x（x﹣3）+c（a＜0；0≤x≤3）的图象和双曲线始终有一个公共点．