Question

已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线交于点E，直线AE交BC于D．
求证：AD⊥BC
证明：∵AB=AC  （已知），∴∠ABC=∠ACB  （

 

 ）
∵BE平分∠ABC （已知），CE平分∠ACB （已知），
∴∠EBD=

1

2

 

，∠ECD=

1

2

 

 （ 角平分线的定义  ），
∴∠EBD=∠ECD  （ 等量代换 ），
∴BE=CE  （

 

  ），
在△ABE和△ACE中，
∵

AB=AC(已知) BE=CE(已证) AE=AE(公共边)

∴△ABE≌△ACE  （

 

），
∴∠BAE=∠CAE  （全等三角形对应角相等），
∵AB=AC （已知），
∴AD⊥BC  （

 

）．

Answer 1

分析：根据等腰三角形的形的性质：等边对等角可证∠ABC=∠ACB，根据角平分线定义可得∠EBD=

1

2

ABD，∠ECD=

1

2

 ACD，利用SSS求证△ABE≌△ACE，再利用等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合这一性质可证AD⊥BC．

解答：证明：∵AB=AC  （已知），
∴∠ABC=∠ACB  （ 等边对等角 ）
∵BE平分∠ABC （已知），CE平分∠ACB （已知），
∴∠EBD=

1

2

ABD，∠ECD=

1

2

 ACD （ 角平分线的定义  ），
∴∠EBD=∠ECD  （ 等量代换 ），
∴BE=CE  （ 等角对等边  ），
在△ABE和△ACE中，
∵

AB=AC(已知) BE=CE(已证) AE=AE(公共边)

∴△ABE≌△ACE  （ SSS），
∴∠BAE=∠CAE  （全等三角形对应角相等），
∵AB=AC （已知），
∴AD⊥BC  （ 等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合）．

点评：此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质，等腰三角形的形的性质，角平分线的性质等知识点的理解和掌握，比较简单，属于基础题．