Question

如图，在直角坐标系中，△ABC满足，∠C=90°，AC=4，BC=2，点A、C分别在x、y轴上，当A点从原点开始在x轴正半轴上运动时，点C随着在y轴正半轴上运动．
（1）当A点在原点时，求原点O到点B的距离OB；
（2）当OA=OC时，求原点O到点B的距离OB．

Answer 1

解：当A点在原点时，AC在y轴上，BC⊥y轴，所以
OB=AB==2；

（2）当OA=OC时，△OAC是等腰直角三角形
AC=4，OA=OC=2．
过点B作BE⊥OA于E，过点C作CD⊥OC，且CD与BE交于点D，
∵∠2+∠ACD=90°，∠3+∠ACD=90°，
∴∠2=∠3，
∵∠1=∠2=45°，
∴∠3=45°，
∴△CDB是等腰直角三角形，
∵CD=BD，
BC=2，CD=BD=．
BE=BD+DE=BD+OC=3，OB==2．
分析：（1）当A点在原点时，距离OB即为AB长，利用勾股定理求解即可；
（2）OA=OC时，△OAC是等腰直角三角形．连接OB，构造相应的直角三角形，得到求OB的长的一些必须的线段即可．
点评：解决本题的关键是根据题意，得到相应的图形，构建一定的直角三角形求解．