Question

【题目】（Ⅰ）如图1，在等边中，点是上的任意一点（不含端点, ），连结，以为边作等边，并连结．求证： ．

（Ⅱ）【类比探究】

如图2，在等边中，若点是延长线上的任意一点（不含端点），其它条件不变，则是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出, , 三者间的数量关系，并给予证明．

（Ⅲ）【拓展延伸】

如图3，在等腰中， ，点是上的任意一点（不含端点），连结，以为边作等腰，使，试探究与的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）结论不成立（Ⅲ）

【解析】试题分析：（Ⅰ）通过证明 ≌，根据全等三角形的性质可得 ，从而证得；

（Ⅱ）结论不成立，通过证明 ≌，根据全等三角形的性质可得，由，得 ；

（Ⅲ），设，由为的外角，可得，从而可得 ，又为的外角，可得 ，从而有，继而推得 .

试题解析：（Ⅰ）∵， 都是等边三角形，

∴， ， ，

∴ 即，

在和中， ，

≌ ，

∴ ，

∴；

（Ⅱ）结论不成立，

理由： ， 都是等边三角形，

∴， ， ，

∴ 即 ，

在和中， ，

≌ ，

∴，

∴，即 ；

（Ⅲ），理由：

设，

∵，∴，

∵为的外角，

∴，

又，∴，

∴ ，

又为的外角，

∴ ，

∴，

∴，即 .