Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线=－++，经过A（0，－4）、

    B（，0）、 C（，0）三点，且-=5．

  （1）求、的值；

  （2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；

  （3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵抛物线=－++经过点A（0，－4），∴=－4          ……1分

又由题意可知，、是方程－++=0的两个根，

∴+=，  =－=6                                ……2分

由已知得（-）=25又（-）=（+）－4=－24

∴ －24=25 ，解得=±                                    ……3分

当=时，抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，不合题意，舍去．

∴=－．                                                       ……4分

（2）∵四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D必在抛物线的对称轴上， 又∵=－－－4=－（+）+              ……6分

∴抛物线的顶点（－，）即为所求的点D．　　　　               ……7分

（3）∵四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为（－6，0），

根据菱形的性质，点P必是直线=-3与抛物线=－--4的交点，

∴当=－3时，=－×（－3）－×（－3）－4=4，             ……8分

∴在抛物线上存在一点P（－3，4），使得四边形BPOH为菱形．           ……9分

四边形BPOH不能成为正方形，因为如果四边形BPOH为正方形，点P的坐标只能是

（－3，3），但这一点不在抛物线上．　　　　                         ……10分

注意：如果有其它解法请参照给分！