Question

已知a、b、c都是整数，且对一切实数x，（x-a）（x-2002）-2=（x-b）（x-c）都成立，则这样的有序数组（a，b，c）共有

 

组．

Answer 1

分析：首先将原式变形为x²-（a+2002）x+2002a-2=（x-b）（x-c），由题意可知b与c是方程x²-（a+2002）x+2002a-2=0①的两整数根，又由a是整数，可得判别式△是完全平方数，则可求得a的值，问题的解．

解答：解：∵（x-a）（x-2002）-2=（x-b）（x-c），
∴x²-（a+2002）x+2002a-2=（x-b）（x-c），
∵对一切实数x，（x-a）（x-2002）-2=（x-b）（x-c）都成立，
∴b与c是方程x²-（a+2002）x+2002a-2=0①的两整数根，
∵a是整数，
∴△=（a+2002）²-4（2002a-2）=（a-2002）²+8是完全平方，
令（a-2002）²+8=n²，这里n为正整数，n＞|a-2002|．
于是有（n+a-2002）（n-a+2002）=8，

n+a-2002=2 n-a+2002=4

或

n+a-2002=4 n-a+2002=2

，
解得n=3，a=2001或2003；
从而方程①的两根为：[（a+2002）±3]．
当a=2001时，方程①的两根为2000，2003；
当a=2003时，方程①的两根为2001，2004．故
满足条件的有序组（a，b，c）共有如下4组：
（2001，2000，2003），（2001，2003，2000），（2003，2001，21304），（2003，2004.2001）．
故答案为：4．

点评：此题考查了判别式的知识，二元一次方程组以及完全平方数等知识．此题综合性很强，注意得到判别式是完全平方数是解此题的关键．