Question

如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°， △ABD是等边三角形，E是AB的中点，连结CE并延长交AD于F.
（1）求证：① △AEF≌△BEC；② 四边形BCFD是平行四边形；
（2）如图11，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，HK为折痕，求sin∠ACH的值.

Answer 1

（1）① 在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°,
∴ ∠ABC=60°.
在等边△ABD中，∠BAD=60°,
∴ ∠BAD=∠ABC=60° .
∵ E为AB的中点，
∴ AE=BE.
又∵ ∠AEF=∠BEC ,
∴ △AEF≌△BEC ；
② 在△ABC中，∠ACB=90°，E为AB的中点
∴ CE=AB   BE=AB，
∴ ∠BCE=∠EBC=60° .
又∵ △AEF≌△BEC,
∴ ∠AFE=∠BCE=60° .
又∵ ∠D=60°,
∴ ∠AFE=∠D=60° .
∴ FC∥BD
又∵ ∠BAD=∠ABC=60°，
∴ AD∥BC，即FD∥BC
∴ 四边形BCFD是平行四边形；
（2）∵∠BAD=60°，∠CAB=30°
∴∠CAH=90°
在Rt△ABC中，∠CAB=30°，设BC =a
∴ AB=2BC=2a，
∴ AD=AB=2a. 设AH = x ，则 HC=HD=AD-AH=2a-x.
在Rt△ABC中，AC²=(2a) ²-a²=3a².
在Rt△ACH中，AH²+AC²=HC²，即x²+3a²=(2a-x) ².
解得 x=a，即AH=a.