Question

如图，抛物线 y=ax²+bx+3经过A（1，0）、B（4，0）两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由．

（3）如图2，点Q是线段OB上一动点，连接BC，在线段BC上存在点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形？求点M的坐标．

Answer 1

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）把点A（1，0）、B（4，0）两点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解；

（2）A、B关于对称轴对称，连接BC，则BC与对称轴的交点即为所求的点P，此时PA+PC=BC，四边形PAOC的周长最小值为：OC+OA+BC；根据勾股定理求得BC，即可求得；

（3）分两种情况分别讨论，即可求得．

【解答】解：（1）由已知得，

解得．

所以，抛物线的解析式为y=x²﹣x+3．

（2）∵A、B关于对称轴对称，如图1，连接BC，

∴BC与对称轴的交点即为所求的点P，此时PA+PC=BC，

∴四边形PAOC的周长最小值为：OC+OA+BC，

∵A（1，0）、B（4，0）、C（0，3），

∴OA=1，OC=3，BC==5，

∴OC+OA+BC=1+3+5=9；

∴在抛物线的对称轴上存在点P，使得四边形PAOC的周长最小，四边形PAOC周长的最小值为9．

（3）∵B（4，0）、C（0，3），

∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，

①当∠BQM=90°时，如图2，设M（a，b），

∵∠CMQ＞90°，

∴只能CM=MQ=b，

∵MQ∥y轴，

∴△MQB∽△COB，

∴=，即=，解得b=，代入y=﹣x+3得=﹣a+3，解得a=，

∴M（，）；

②当∠QMB=90°时，如图3，

∵∠CMQ=90°，

∴只能CM=MQ，

设CM=MQ=m，

∴BM=5﹣m，

∵∠BMQ=∠COB=90°，∠MBQ=∠OBC，

∴△BMQ∽△BOC，

∴=，解得m=，

作MN∥OB，

∴==，即==，

∴MN=，CN=，

∴ON=OC﹣CN=3﹣=，

∴M（，）．

综上，在线段BC上存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形，点M的坐标为（，）或（，）．

【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，轴对称﹣最短路线问题，等腰三角形的性质等；分类讨论思想的运用是本题的关键．