Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+15分别交x轴、y轴于点A，B，交直线y=x于点M．动点C在直线AB上以每秒3个单位的速度从点A向终点B运动，同时，动点D以每秒a个单位的速度从点0沿OA的方向运动，当点C到达终点B时，点D同时停止运动．设运动时间为t秒．

（1）求点A的坐标和AM的长．

（2）当t=5时，线段CD交OM于点P，且PC=PD，求a的值．

（3）在点C的整个运动过程中，

①直接用含t的代数式表示点C的坐标．

②利用（2）的结论，以C为直角顶点作等腰直角△CDE（点C，D，E按逆时针顺序排列），当OM与△CDE的一边平行时，求所有满足条件的t的值．

Answer 1

【答案】（1）A(20，0)，10；（2）2；（3）①，②或或4

【解析】

（1）在中，令，得点A坐标，联立AB，OM解析式，求出点M坐标，过点M作轴垂线，垂足为G，由M坐标得出OG，MG，AG长度，由勾股定理可得结果．

（2）过点C作CQ轴交OM延长线与Q，证明△CPQ≌△DPO（AAS），得出CQ=OD，解出CQ长度即可．

（3）①作CK轴与K，由CK轴，得，解出CK，代入中，得．

②当OM于△CDE的一边，分三种情况进行讨论：当OMCD 时，用解得t值；当OMCE时，用CK=2DK解得t值；当OMDE时，证明△CDK≌△CEG，用DH=2EH解得t值．

解：（1）当y=0时，，解得：x=20

∴点A（20，0）；

∵两直线相交于点M

∴，解得：

∴点M（12，6）

过点M作MG⊥OA于点G

∴OG=12，MG=6

∴AG=20-12=8

在Rt△AMG中，

;

（2）∵动点C在直线AB上以每秒3个单位的速度从点A向终点B运动，同时，动点D以每秒个单位的速度从点0沿OA的方向运动，

∴当t=5时则AC=15，OD=5，AB=25

点C（8，9）

过点C作CQ∥x轴交OM的延长线于点Q，

∴点Q（18，9）

∴CQ=18-8=10，

∵CQ∥x轴

∴∠G=∠DOP

在△CPQ和△DPO中，

∴△CPQ≌△DPO（AAS）

∴CQ=OD

即5=10，解之：=2.

（3）解：①过点C作CK⊥x轴于点K，

由题意可知AC=3t，AB=25，OB=15，

∴CK∥y轴，

∴△ACK∽△ABO

∴即

解之：

当时，则

解之：

∴点;

②由①可知CK= ， OK=

∵AC=3t，OD=2t，tan∠MOA=

当CD∥OM时，

即

解之：t=；

当CE∥OM时，

∴∠ECD=∠CPO=90°

∴∠DCK+∠CDK=∠DOP+∠CDK=90°

∴∠DCK=∠DOP

∴tan∠DCK=

∴CK=2DK

∴DK=OD-OK=

∴

解之：;

当DE∥OM时，过点E作EH⊥x轴于点H，过点C作CK⊥x轴于点K，过点C作CG∥x轴交HE于点G，

∵等腰直角△CDE

∴CD=CE

易证△CDK≌△CEG，

∴CK=CG=GH= ， ,

,

,

∵OM∥ED，

∴∠MOA=∠EDH，

∴DH=2EH

∴

解之：t=4.

∴t的值为或或4.