题目内容

如图，在直角梯形OABC中，已知B、C两点的坐标分别为B（8，6）、C（10，0），动点M由原点O出发沿OB方向匀速运动，速度为1单位/秒；同时，线段DE由CB出发沿BA方向匀速运动，速度为1单位/秒，交OB于点N，连接DM，过点M作MH⊥AB于H，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．
（1）试说明：△BDN∽△OCB；
（2）试用t的代数式表示MH的长；
（3）当t为何值时，以B、D、M为顶点的三角形与△OAB相似？
（4）设△DMN的面积为y，求y与t之间的函数关系式．
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分析：（1）根据平行线证明∠DBO=∠BOC，∠BDN=∠DEO=∠OCB，根据两组角对应相等两三角形相似即可证明△BDN∽△OCB；
（2）利用勾股定理求出OB的长为10，再表示出BM长为10-t，然后利用相似三角形对应边成比例得
MH
AO
=
BM
BO
，代入求解即可；
（3）因为两三角形的对应边不明确，所以分BD与BA是对应边和BD与BO是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可；
（4）先求出△OBC的面积为30，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△BDN的面积，然后分点M在ON上时S△DMN=S△BDM-S△BDN和点M在BN上时S△DMN=S△BDN-S△BDM两种情况求出△DMN的面积．
解答：解：（1）∵AB∥CO，
∴∠DBO=∠BOC，∠BDN=∠DEO，
∵线段DE由CB出发沿BA方向匀速运动，
∴DE∥BC，
∴∠DEO=∠OCB，
∴∠BDN=∠OCB，
∴△BDN∽△OCB；

（2）直角梯形中OABC中，∠BAO=90°，MH⊥AB，
∴∠BHM=∠BAO=90°，OB=
OA2+AB2
=10，
∴MH∥AO，
∴△BHM∽△BAO，
∴
MH
AO
=
BM
BO
，
∴
MH
6
=
10-t
10
，
∴MH=6-
3
5
t；

（3）①若△BDM∽△BAO，
∴
BD
BA
=
BM
BO
，
∴
t
8
=
10-t
10
，
∴t=
40
9
，
②若△BDM∽△BOA，
∴
BD
BO
=
BM
BA
，
∴
t
10
=
10-t
8
，
∴t=
50
9
；
综上所述，当t=
40
9
或t=
50
9
时，△BDM与△BOA相似；
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（4）过点B作BG⊥OC于G，
∴BG=AO=6，
∴S△B0C=
1
2
×10×6=30，
∵△BDN∽△OCB，
∴
S△BDN
S△BOC
=(
BD
OC
)2，
∴
S△BDN
30
=(
t
10
)2，精英家教网
∴S△BDN=
3
10
t2，
①当点M在ON上即0＜t＜5时，
y=S△DMN=S△BDM-S△BDN，
=
1
2
×t×(6-
3
5
t)-
3
10
t2，
=3t-
3
5
t2，
②当点M在BN上即5＜t＜8时，
y=S△DMN=S△BDN-S△BDM，
=
3
10
t2-
1
2
×t×（6-
3
5
t），
=
3
5
t2-3t．
点评：本题综合性较强，主要考查相似三角形的判定和相似三角形的性质，要注意分情况讨论．
练习册系列答案
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如图，在直角梯形OABC中，OA∥CB，A、B两点的坐标分别为A（15，0），B（10，12），动点P、Q分别从O、B两点出发，点P以每秒2个单位的速度沿OA向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿BC向C运动，当点P停止运动时，点Q也同时停止运动．线段OB、PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交AB于点E，射线QE交x轴于点F．设动点PQ运精英家教网动时间为t（单位：秒）．
（1）当t为何值时，四边形PABQ是等腰梯形，请写出推理过程；
（2）当t=2秒时，求梯形OFBC的面积；
（3）当t为何值时，△PQF是等腰三角形？请写出推理过程．
如图，在直角梯形COAB中，CB∥OA，以O为原点建立直角坐标系，A、C的坐标分别为A精英家教网（10，0）、C（0，8），CB=4，D为OA中点，动点P自A点出发沿A→B→C→O的线路移动，速度为1个单位/秒，移动时间为t秒．
（1）求AB的长，并求当PD将梯形COAB的周长平分时t的值，并指出此时点P在哪条边上；
（2）动点P在从A到B的移动过程中，设△APD的面积为S，试写出S与t的函数关系式，并指出t的取值范围；
（3）几秒后线段PD将梯形COAB的面积分成1：3的两部分？求出此时点P的坐标？
如图，在直角梯形OABC中，OA、OC边所在直线与x、y轴重合，BC∥OA，点B的坐标为（6.4，4.8），对角线OB⊥OA．在线段OA、AB上有动点E、D，点E以每秒2厘米的速度在线段OA上从点O向点A匀速运动，同时点D以每秒1厘米的速度在线段AB上从点A向点B匀速运动．当点E到达点A时，点D同时停止运动．设点E的运动时间为t（秒），
（1）求线段AB所在直线的解析式；
（2）设四边形OEDB的面积为y，求y关于t的函数关系式，并写出自变量的t的取值范围；
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（2012•湛江模拟）已知，如图，在直角梯形COAB中，CB∥OA，以O为原点建立平面直角坐标系，A、B、C的坐标分别为A（10，0）、B（4，8）、C（0，8），D为OA的中点，动点P自A点出发沿A→B→C→O的路线移动，速度为每秒1个单位，移动时间记为t秒．
（1）求过点O、B、A三点的抛物线的解析式；
（2）求AB的长；若动点P在从A到B的移动过程中，设△APD的面积为S，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；
（3）动点P从A出发，几秒钟后线段PD将梯形COAB的面积分成1：3两部分？求出此时P点的坐标．
如图，在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A（1，2），C（3，0）．动点P从O点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P点作PQ⊥直线OA，垂足为Q．设P点移动的时间为t秒（0＜t≤7），△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S．
（1）写出点B的坐标：
（3，2）
（3，2）
；
（2）当t=7时，求直线PQ的解析式，并判断点B是否在直线PQ上；
（3）求S关于t的函数关系式；
（4）连接AC．是否存在t，使得PQ分△ABC的面积为1：3？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

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