Question

【题目】如图，点P是边长为2的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论：①MF=MC；②AH⊥EF；③AP2=PMPH； ④EF的最小值是．其中正确的是________．（把你认为正确结论的序号都填上）

Answer 1

【答案】②③④

【解析】

①可用特殊值法证明，当为的中点时，，可见.

②可连接，交于点，先根据证明，得到，根据矩形的性质可得，故，又因为，故，故.

③先证明，得到，再根据，得到，代换可得.

④根据，可知当取最小值时，也取最小值，根据点到直线的距离也就是垂线段最短可得，当时，取最小值，再通过计算可得.

解：

①错误.当为的中点时，，可见；

②正确.

如图，连接，交于点，

，

，，，

四边形为矩形，

，

，

，

，

，

，

.

③正确.

，

，

，

，

，

又，

，

，

，

，

.

④正确.

且四边形为矩形，

，

当时，取最小值，

此时，

故的最小值为.

故答案为：②③④.