Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+2的图象经过点A和点B．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）把（1）中的抛物线先向左平移1个单位长度，再向上或向下平移多少个单位长度能使抛物线与直线AB只有一个交点？写出此时抛物线的解析式．
（3）将（2）中的抛物线向右平移

5

2

个单位长度，再向下平移t个单位长度（t＞0），此时，抛物线与x轴交于M、N两点，直线AB与y轴交于点P．当t为何值时，过M、N、P三点的圆的面积最小？最小面积是多少？

Answer 1

分析：（1）由图象可知A（1，0），B（4，6），可用待定系数求出抛物线的解析式；
（2）原抛物线的解析式可配方为y=(x-

3

2

)2-

1

4

，顶点坐标为（

3

2

，-

1

4

），先向左平移1个单位长度，再平移使抛物线与直线AB只有一个交点，得新抛物线的顶点为（

1

2

，0），设新抛物线的解析式为y=（x-h）²+k，把新抛物线的顶点坐标代入即可；
（3）先设出平移后抛物线的解析式，不难得出平移后抛物线的对称轴为x=3．因此过P，M，N三点的圆的圆心必在直线x=3上，要使圆的面积最小，那么圆心到P点的距离也要最小（设圆心为C），即P，C两点的纵坐标相同，因此圆的半径就是3．求出P点的坐标．可设出平移后的抛物线的解析式，表示出MN的长，如果设对称轴与x轴的交点为E，那么可表示出ME的长，然后在直角三角形MEC中根据勾股定理即可确定平移的距离，即t的值．

解答：解：（1）由图象可知A（1，0），B（4，6），代入y=ax²+bx+2．
得

0=a+b+2 6=16a+4b+2.

解得

a=1 b=-3.

∴抛物线的解析式为y=x²-3x+2．

（2）原抛物线的解析式可配方为y=(x-

3

2

)2-

1

4

，抛物线向左平移1个单位长度后解析式为y=(x-

1

2

)2-

1

4

，设向上或向下平移h个单位长度，则解析式为y=(x-

1

2

)2-

1

4

+h．
由A、B两点坐标可求得直线AB的解析式为y=2x-2，
由

y=(x- 1 2 )2- 1 4 +h y=2x-2

得(x-

1

2

)2-

1

4

+h=2x-2，化简得x²-3x+h+2=0，
∵抛物线与直线只有一个交点，即此一元二次方程只有唯一的根，
∴b²-4ac=0，即9-4×（h+2）=0．∴h=

1

4

，也就是抛物线再向上平移

1

4

个单位长度能与直线AB只有一个交点，此时抛物线的解析式为y=(x-

1

2

)2．

（3）抛物线y=(x-

1

2

)2向右平移

5

2

个单位长度，再向下平移t个单位长度，
解析式为y=（x-3）²-t．
令y=0，即（x-3）²-t=0，则x₁=3+

t

，x₂=3-

t

．
由（2）知：点P（0，-2）．
∵过M、N、P三点的圆的圆心一定在直线x=3上，点P为定点，
∴要使圆的面积最小，圆的半径应等于点P到直线x=3的距离，此时，半径为3，面积为9π．
设圆心为C，MN的中点为E，连接CE，CM．
在三角形CEM中，∵ME²+CE²=CM²，
∴（

t

）²+2²=3²，∴t=5．
∴当t=5时，过M、N、P三点的圆的面积最小，最小面积为9π??．

点评：本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到待定系数求出抛物线的解析式，抛物线的顶点公式抛物线的平移不改变二次项的系数；抛物线的平移，看顶点的平移即可；左右平移，只改变顶点的横坐标，左减右加；上下平移，只改变顶点的纵坐标，上加下减．