Question

丰富的图形世界里有奇妙的数量关系，让我们通过下面这些几何体开始神奇的探索之旅．
观察：下面这些几何体都是简单几何体，请你仔细观察．

统计：每个几何体都会有棱（棱数为E）、面（面数为F）、顶点（顶点数为V），现将有关数据统计，完成下表．

几何体	a	b	c	d	e
棱数（E）	6		9		15
面数（F）	4	5	5	6
顶点数（V）	4	5		8

发现：（1）简单几何中，V+F-E=______；
（2）简单几何中，每条棱都是______个面的公共边；
（3）在正方体中，每个顶点处有______条棱，每条棱都有______个顶点，所以有2×E=3×V．
应用：有一个叫“正十二面体”的简单几何体，它有十二个面，每个面都是正五边形，它的每个顶点处都有相同数目的棱．请问它有______条棱，______个顶点，每个顶点处有______条棱．

Answer 1

解：（1）简单几何中，V+F-E=2；
（2）简单几何中，每条棱都是 2个面的公共边；
（3）在正方体中，每个顶点处有 3条棱，每条棱都有 2个顶点，所以有2×E=3×V；
应用：有一个叫“正十二面体”的简单几何体，它有十二个面，每个面都是正五边形，它的每个顶点处都有相同数目的棱．请问它有 30条棱，20个顶点，每个顶点处有 3条棱，
故答案为：2；3，2；30，20，3．
分析：（1）根据观察图形，可得V、F、E的关系；
（2）根据顶点与棱的关系，可得答案；
（3）根据正十二边形有十二个面，每个面是五边形，每条棱为两个面共用，可得楞数，再根据棱与顶点的关系，可得顶点数．
点评：本题考查了欧拉公式，顶点数+面数-楞数=2，注意2×E=3×V．